A1. 1 Получен ответ\[A=0.3~рад.\] | 0.10 |
|
A1. 2 Получен ответ\[\omega = 20~\text{с}^{-1}.\] | 0.20 |
|
A1. 3 Корректный метод нахождения $\gamma$. | 0.50 |
|
A1. 4 Получен ответ\[\gamma = 0.40~с^{-1}.\] | 0.20 |
|
A1. 5 Корректный метод нахождения $\omega_D$. | 0.30 |
|
A1. 6 Получен ответ\[\omega_D = 0.37~\frac{рад}{с}.\] | 0.20 |
|
B1. 1 Получен ответ$$\dot{x}(t) = \frac{1}{2}(\dot{A}e^{i\omega t}+i\omega A e^{i\omega t} + \dot{A^*}e^{-i\omega t}-i\omega A^* e^{-i\omega t}).$$ | 0.20 |
|
B2. 1 Получен ответ$$\ddot{x}=-\frac{1}{2}\omega^2(A e^{i \omega t} + A^*e^{-i\omega t}) + i \omega \dot{A} e^{i \omega t}.$$ | 0.30 |
|
B3. 1
Получен ответ$$
\dot{A} = \frac{1}{2i\omega}e^{-i \omega t}\left(-2\gamma(i \omega A e^{i\omega t} - i \omega A^* e^{-i\omega t}) +\\+ \frac{\varepsilon}{4}(A^3 e^{3i\omega t} + 3A |A|^2 e^{i\omega t} + A^{*3} e^{-3i\omega t} + 3A^* |A|^2 e^{-i\omega t})\right) .$$ |
0.50 |
|
B4. 1
Получен ответ$$
\dot{A}=-A\left(\gamma +\frac{3\varepsilon}{8\omega}i|A|^2\right). $$ |
0.20 |
|
B5. 1 Записано уравнение\[\dot A=-i\frac{3\varepsilon|A|^2}{8\omega}A.\] | 0.10 |
|
B5. 2 Получен ответ\[A(t)=A_0\exp\left[-i\frac{3\varepsilon|A_0|^2}{8\omega}t\right].\] | 0.40 |
|
B5. 3 Ошибка в знаке. | -0.20 |
|
B5. 4 Получен ответ\[x(t)=A_0\exp\left[i\left(\omega-\frac{3\varepsilon|A_0|^2}{8\omega}\right)t\right]+A^*_0\exp\left[-i\left(\omega-\frac{3\varepsilon|A_0|^2}{8\omega}\right)t\right].\] | 0.10 |
|
B6. 1 Выписано разложение синуса в ряд Тейлора:\[\sin x\approx x-\frac16x^3.\] | 0.10 |
|
B6. 2 Получен ответ\[\Delta\omega=-\frac{1}{16}A^2\omega.\] | 0.20 |
|
B6. 3 Численный ответ\[\frac{\Delta\omega}\omega\approx -6\cdot 10^{-3}.\] | 0.10 |
|
C1. 1 Получен ответ\[F=mg(\sin\theta_1+\sin\theta_2)-ml(D_1+D_2).\] | 0.70 |
|
С2. 1 Получен ответ\[\ddot\theta_1+2\gamma\dot\theta_1+\omega^2\theta_1=\alpha\left[-(\theta_1+\theta_2)\omega^2+(D_1+D_2)\right].\] | 0.50 |
|
С2. 2 Получен ответ\[\ddot\theta_2+2\gamma\dot\theta_2+\omega^2\theta_2=\alpha\left[-(\theta_1+\theta_2)\omega^2+(D_1+D_2)\right].\] | 0.50 |
|
C3. 1 На фазовой диаграмме корректно изображены точки прохождения маятником собственного положения равновесия. | 0.60 |
|
C3. 2 На фазовой диаграмме корректно изображены точки прохождения маятником положения равновесия другого маятника. | 0.80 |
|
C3. 3 Записано верное выражение для\[\Delta\psi=-4\pi\frac{\alpha\gamma}\omega\sin\psi.\] | 0.60 |
|
С4. 1 Показано, что из результата предыдущего пункта следует уравнение Курамото. | 0.30 |
|
С4. 2 Получен численный ответ\[B=2\gamma\alpha= 0.8 \cdot 10^{-3}~с^{-1}.\] | 0.40 |
|
С5. 1 Получено выражение\[\dot\psi=\omega_1-\omega_2-\frac{3\omega^2A^3\alpha}{16\gamma}\sin\psi.\] | 0.60 |
|
С5. 2 Получен ответ\[\Delta\omega_\max=\frac{3\omega^3A^3\alpha}{16\gamma}.\] | 0.20 |
|
С6. 1 Получен ответ\[\psi=\arcsin\frac{16\gamma\Delta\omega}{3\omega^3A^3\alpha}.\] | 0.20 |
|
C7. 1 Получен ответ\[t=\frac{\sin\psi}{\Delta\omega}\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac\psi2}{\operatorname{tg}0.05}\right|\approx18.9~с.\] | 0.90 |
|