Pho.rs: Синхронизация метрономов

A1 ^1.50 По графику раскачки колебаний метронома найдите с точностью 10%: угловую частоту $\omega$, установившуюся амплитуду $A$, коэффициент затухания $\gamma$ и угловую скорость $\omega_D$ сообщаемую спусковым механизмом при ударе. Известно, что $\frac{\omega_D}\omega,\ \gamma\ll1$.

1 Получен ответ\[A=0.3~рад.\]	0.10
2 Получен ответ\[\omega = 20~\text{с}^{-1}.\]	0.20
3 Корректный метод нахождения $\gamma$.	0.50
4 Получен ответ\[\gamma = 0.40~с^{-1}.\]	0.20
5 Корректный метод нахождения $\omega_D$.	0.30
6 Получен ответ\[\omega_D = 0.37~\frac{рад}{с}.\]	0.20

B1 ^0.20 Выразите $\dot{x}(t)$ через $A(t)$ и $A^*(t)$.

1 Получен ответ$$\dot{x}(t) = \frac{1}{2}(\dot{A}e^{i\omega t}+i\omega A e^{i\omega t} + \dot{A^*}e^{-i\omega t}-i\omega A^* e^{-i\omega t}).$$

0.20

B2 ^0.30 Выразите $\ddot{x}(t)$ через $A(t)$, $A^*(t)$, $\dot{A}(t)$.

1 Получен ответ$$\ddot{x}=-\frac{1}{2}\omega^2(A e^{i \omega t} + A^*e^{-i\omega t}) + i \omega \dot{A} e^{i \omega t}.$$

0.30

B3 ^0.50 Используя уравнение колебаний, найдите выражение для $\dot{A}$ через $A$, $\gamma$, $\omega$, $\varepsilon$.

1 Получен ответ$$
\dot{A} = \frac{1}{2i\omega}e^{-i \omega t}\left(-2\gamma(i \omega A e^{i\omega t} - i \omega A^* e^{-i\omega t}) +\\+ \frac{\varepsilon}{4}(A^3 e^{3i\omega t} + 3A |A|^2 e^{i\omega t} + A^{*3} e^{-3i\omega t} + 3A^* |A|^2 e^{-i\omega t})\right)
.$$

0.50

B4 ^0.20 Учитывая это, напишите упрощенное уравнение на $\dot{A}(t)$.

1 Получен ответ$$
\dot{A}=-A\left(\gamma +\frac{3\varepsilon}{8\omega}i|A|^2\right).
$$

0.20

B5 ^0.60 Предположим, что трения нет, $\gamma = 0$. Пусть начальное значение $A$ равно $A_0$.
Решите уравнение из $\bf B4$ и получите $A(t)$ и $x(t)$.

1 Записано уравнение\[\dot A=-i\frac{3\varepsilon\|A\|^2}{8\omega}A.\]	0.10
2 Получен ответ\[A(t)=A_0\exp\left[-i\frac{3\varepsilon\|A_0\|^2}{8\omega}t\right].\]	0.40
3 Ошибка в знаке.	-0.20
4 Получен ответ\[x(t)=A_0\exp\left[i\left(\omega-\frac{3\varepsilon\|A_0\|^2}{8\omega}\right)t\right]+A^*_0\exp\left[-i\left(\omega-\frac{3\varepsilon\|A_0\|^2}{8\omega}\right)t\right].\]	0.10

B6 ^0.40 Найдите первую поправку $\Delta \omega$ к частоте колебаний, описываемых уравнением
\[
\ddot{x} + \omega^2 \sin x = 0
\]с небольшой амплитудой $A \ll 1$. Чему равна $\frac{\Delta \omega}{\omega}$ при амплитуде найденной в $\bf A1$?

1 Выписано разложение синуса в ряд Тейлора:\[\sin x\approx x-\frac16x^3.\]	0.10
2 Получен ответ\[\Delta\omega=-\frac{1}{16}A^2\omega.\]	0.20
3 Численный ответ\[\frac{\Delta\omega}\omega\approx -6\cdot 10^{-3}.\]	0.10

C1 ^0.70 Начнем с вспомогательной задачи. Пусть метрономы стоят на неподвижной доске и совершают колебания с известными зависимостями $\theta_1(t)$ и $\theta_2(t)$. В первом порядке по амплитудам колебаний найдите силу, действующую на доску. Выразите ответ через $\theta_1$, $\theta_2$, $D_1$, $D_2$ и постоянные, характеризующие метрономы.

1 Получен ответ\[F=mg(\sin\theta_1+\sin\theta_2)-ml(D_1+D_2).\]

0.70

С2 ^1.00 Напишите уравнения движения грузов в системе отсчета доски, то есть выразите $\ddot{\theta}_1$, $\ddot{\theta}_2$ через $\theta_1$, $\theta_2$, $\dot{\theta}_1$, $\dot{\theta}_2$, $\omega$, $\gamma$, $\alpha$, $D_1$, $D_2$.

1 Получен ответ\[\ddot\theta_1+2\gamma\dot\theta_1+\omega^2\theta_1=\alpha\left[-(\theta_1+\theta_2)\omega^2+(D_1+D_2)\right].\]	0.50
2 Получен ответ\[\ddot\theta_2+2\gamma\dot\theta_2+\omega^2\theta_2=\alpha\left[-(\theta_1+\theta_2)\omega^2+(D_1+D_2)\right].\]	0.50

C3 ^2.00 Фазовая диаграмма колебания – изображение движения маятника на плоскости с координатами $\dot{\theta}$, $\omega \theta$. Предположим, что установился режим колебаний, в котором их амплитуды постоянны, но при этом есть некоторая разность фаз $\psi$. Постройте фазовую диаграмму первого осциллятора за один период. Укажите на ней точки, в которых срабатывают спусковые механизмы метрономов. Найдите изменение разности фаз между метрономами за период $\Delta \psi$.

1 На фазовой диаграмме корректно изображены точки прохождения маятником собственного положения равновесия.	0.60
2 На фазовой диаграмме корректно изображены точки прохождения маятником положения равновесия другого маятника.	0.80
3 Записано верное выражение для\[\Delta\psi=-4\pi\frac{\alpha\gamma}\omega\sin\psi.\]	0.60

С4 ^0.70 Покажите, что изменение разности фаз между осцилляторами удовлетворяет уравнению Курамото$$
\dot{\psi} = - B \sin \psi.
$$Найдите выражение для постоянной $B$ и ее численное значение, если $\alpha=10^{-2}$.

1 Показано, что из результата предыдущего пункта следует уравнение Курамото.	0.30
2 Получен численный ответ\[B=2\gamma\alpha= 0.8 \cdot 10^{-3}~с^{-1}.\]	0.40

С5 ^0.80 Предположим, что собственные частоты осцилляторов немного отличаются и равны $\omega_1$ и $\omega_2$, где $\Delta \omega = \omega_1 - \omega_2 \ll \omega_1$. Найдите выражение для $\dot{\psi}$ в этом случае. При какой максимальной разности частот $\Delta \omega_{max}$ возможна синхронизация?

1 Получено выражение\[\dot\psi=\omega_1-\omega_2-\frac{3\omega^2A^3\alpha}{16\gamma}\sin\psi.\]	0.60
2 Получен ответ\[\Delta\omega_\max=\frac{3\omega^3A^3\alpha}{16\gamma}.\]	0.20

С6 ^0.20 Пусть разность частот $\Delta \omega$ меньше максимальной. Найдите установившуюся разность фаз $\psi$ осцилляторов.

1 Получен ответ\[\psi=\arcsin\frac{16\gamma\Delta\omega}{3\omega^3A^3\alpha}.\]

0.20

C7 ^0.90 Пусть в системе из двух метрономов разность частот равна $\Delta \omega =0.1 c^{-1}$. При этом разность фаз $\psi = 0.5 ~\text{рад}$. В некоторый момент времени груз одного из метрономов немного смещается и разность частот обращается в $0$. Найдите время $t$, за которое метрономы полностью синхронизируются, то есть их разность фаз станет меньше $0.01~\text{рад}$.

1 Получен ответ\[t=\frac{\sin\psi}{\Delta\omega}\ln\left|\frac{\operatorname{tg}\frac\psi2}{\operatorname{tg}0.05}\right|\approx18.9~с.\]

0.90

Синхронизация метрономов

Разбалловка