Показатель преломления материала — нелинейная величина, зависящая от длины волны падающего излучения. Эта зависимость может быть ключевым свойством материала при изготовлении простейших спектроскопических приборов (к примеру — призм). В то же время зависимость показателя преломления от длины волны бывает губительна в других оптических приборах, в частности там, где важна точная фокусировка лучей. В последнее время появляется всё больше новых материалов и веществ, оптические свойства которых необходимо исследовать. В этой задаче мы попробуем определить зависимость показателя преломления неизвестной жидкости от длины волны, используя жидкость, для которой эта зависимость уже известна.
Схема измерений представлена на рисунке ниже. На воздушную призму с тонкими стенками с углом $\alpha=30^{\circ}$ при вершине, погружённую в исследуемую жидкость, падает тонкий луч источника. Луч падает на одну из граней призмы перпендикулярно в точке $A$ и затем выходит из призмы в точке $B$. Из-за зависимости показателя преломления от длины волны углы, под которыми лучи разной длины волны выйдут из призмы, будут различаться. На расстоянии $L$ от точки $B$ находится экран, перпендикулярный $AO$. Для удобства дальнейшей работы введём безразмерную величину $x=\frac yL$. На экране размещено множество светочувствительных элементов, которые измеряют интенсивность $\mathcal J_x(x)$ (мощность, падающую на единицу площади поверхности в единицу времени) в точках, в которых они расположены.
Обычный источник света (такой как настольная лампа) характеризуется тем, что излучает свет не одной длины волны (как это делает лазер), а длин волн сразу в некотором диапазоне. Чтобы охарактеризовать его излучение, введём понятие спектральной плотности $\mathcal J_\lambda(\lambda)$. Мы определяем её так, чтобы мощность, излучаемая источником в диапазоне длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$, равнялась $\mathcal J_\lambda(\lambda)\Delta\lambda$, где $\Delta\lambda$ — малая величина. В этой части задачи мы исследуем спектральную плотность источника.
Выясним сначала, в какую точку $x$ на экране должен попадать луч, проходящий через призму, в зависимости от показателя преломления жидкости. Применив закон Снеллиуса для лучей получим следующую формулу для зависимости $x$ от $n$:\[x=\operatorname{tg}\alpha\frac{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}-\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}+\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha}.\tag{1}\]Чтобы по известному значению $x$ восстановить значение $n$, формулу (1) необходимо "обратить". В результате несложных вычислений получим:\[n=\frac{\sqrt{1+x^2}}{1-x\operatorname{ctg}\alpha}.\tag{2}\]Показатель преломления большинства прозрачных материалов в видимом диапазоне можно приближённо описать формулой:\[n(\lambda)=A+\frac B{\lambda^2},\tag{3}\]где $A$ и $B$ — некоторые постоянные.
Сначала измерения проводят в известной жидкости, для которой эти постоянные равны $A=1.14$ и $B=8.6\cdot10^4 нм^{2}$. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal J_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.
$x$ | $\mathcal J_x$ | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.1250 | 0 | ||||||
0.1275 | 4917 | ||||||
0.1300 | 4024 | ||||||
0.1325 | 2854 | ||||||
0.1350 | 1805 | ||||||
0.1375 | 1393 | ||||||
0.1400 | 1322 | ||||||
0.1425 | 1545 | ||||||
0.1450 | 1701 | ||||||
0.1475 | 1819 | ||||||
0.1500 | 1870 | ||||||
0.1525 | 1736 | ||||||
0.1550 | 1529 | ||||||
0.1575 | 1595 | ||||||
0.1600 | 1875 | ||||||
0.1625 | 2360 | ||||||
0.1650 | 2775 | ||||||
0.1675 | 3098 | ||||||
0.1700 | 2918 | ||||||
0.1725 | 2780 | ||||||
0.1750 | 2375 | ||||||
0.1775 | 2181 | ||||||
0.1800 | 2281 | ||||||
0.1825 | 2390 | ||||||
0.1850 | 2506 | ||||||
0.1875 | 2578 | ||||||
0.1900 | 2428 | ||||||
0.1925 | 2146 | ||||||
0.1950 | 1823 | ||||||
0.1975 | 1546 | ||||||
0.2000 | 1428 | ||||||
0.2025 | 1333 | ||||||
0.2050 | 1342 | ||||||
0.2075 | 1366 | ||||||
0.2100 | 1326 | ||||||
0.2125 | 1251 | ||||||
0.2150 | 1169 | ||||||
0.2175 | 986 | ||||||
0.2200 | 822 | ||||||
0.2225 | 702 | ||||||
0.2250 | 0 |
Чтобы получить формулу для спектральной плотности $\mathcal J_\lambda$, необходимо провести более сложные расчёты. Ограничимся здесь лишь итоговой формулой для спектральной плотности:\[\mathcal J_\lambda=\frac{2B\sqrt{1+x^2}}{\lambda^3}\frac{(1-x\operatorname{ctg}\alpha)^2}{x+\operatorname{ctg}\alpha}\mathcal J_x.\tag{4}\]
В дальнейшем нам также понадобится посчитать, какая доля мощности источника излучается на длинах волн, меньших некоторого значения $\lambda$. Обозначим эту величину как $\sigma(\lambda)$. Для её нахождения надо посчитать площадь под графиком $\mathcal J_x$. Это мы будем делать методом трапеций.
Пусть нам известны значения $f_i$ функции $f(x)$ в точках $x_i$. Тогда площадь под графиком этой функции можно оценить как сумму площадей трапеций, построенных, как показано на рисунке ниже.
Поскольку в нашем случае точки $x_i$ расположены через равные интервалы, формула для итоговой площади $S_k$ под графиком между точками $x_0$ и $x_k$ имеет вид:\[S_k\approx\left(\frac{f_0+f_k}2+\sum_{i=1}^{k-1}f_i\right)\Delta x,\tag{5}\]где $\Delta x=x_{i+1}-x_i$ — расстояние между соседними точками.
Теперь жидкость, в которую погружена призма, заменим на неизвестную, зависимость показателя которой от длины волны мы хотим найти. Схема эксперимента остаётся той же. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal J_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.
$x$ | $\mathcal J_{x}$ | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.050 | 0 | ||||||
0.055 | 3746 | ||||||
0.060 | 3194 | ||||||
0.065 | 2647 | ||||||
0.070 | 2040 | ||||||
0.075 | 1419 | ||||||
0.080 | 1073 | ||||||
0.085 | 1111 | ||||||
0.090 | 1240 | ||||||
0.095 | 1365 | ||||||
0.100 | 1499 | ||||||
0.105 | 1609 | ||||||
0.110 | 1622 | ||||||
0.115 | 1572 | ||||||
0.120 | 1370 | ||||||
0.125 | 1450 | ||||||
0.130 | 1543 | ||||||
0.135 | 2023 | ||||||
0.140 | 2506 | ||||||
0.145 | 2893 | ||||||
0.150 | 2974 | ||||||
0.155 | 2620 | ||||||
0.160 | 2532 | ||||||
0.165 | 2168 | ||||||
0.170 | 2073 | ||||||
0.175 | 2274 | ||||||
0.180 | 2652 | ||||||
0.185 | 2744 | ||||||
0.190 | 2514 | ||||||
0.195 | 2427 | ||||||
0.200 | 1927 | ||||||
0.205 | 1570 | ||||||
0.210 | 1496 | ||||||
0.215 | 1551 | ||||||
0.220 | 1620 | ||||||
0.225 | 1589 | ||||||
0.230 | 1455 | ||||||
0.235 | 1339 | ||||||
0.240 | 1107 | ||||||
0.245 | 921 | ||||||
0.250 | 0 |
В прошлой части задачи мы получили зависимость $\sigma(\lambda)$, которая теперь позволит нам восстановить $n(\lambda)$ для неизвестной жидкости. Однако значения $\sigma$, полученные в предыдущей части, не совпадают со значениями, полученными здесь. Чтобы узнать, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные в предыдущем пункте $\sigma$, прибегнем к т.н. линейной интерполяции зависимости $\lambda(\sigma)$.
Суть линейной интерполяции состоит в следующем. Пусть нам известны значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ функции $\lambda(\sigma)$ в точках $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Если эти точки находятся достаточно близко друг к другу, то с хорошей точностью можно приблизить функцию между этими двумя точками участком прямой. Это позволяет нам приближённо восстановить значения функции для $\sigma_1 < \sigma < \sigma_2$.
Выведем формулу, определяющую $\lambda(\sigma)$. Поскольку функцию мы приближаем линейной, то искомую зависимость можно записать в виде:\[\lambda=a\sigma+b.\tag{6}\]Для нахождения $a$ и $b$ заметим, что эта прямая должна проходить через точки $(\sigma_1,\lambda_1)$ и $(\sigma_2,\lambda_2)$. Подставляя их в уравнение (6), получим систему уравнений:\[\begin{cases}\lambda_1=a\sigma_1+b,\\\lambda_2=a\sigma_2+b.\end{cases}\tag{7}\]Решая эту систему, получим окончательно:\[\lambda=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\sigma_2-\sigma_1}\sigma+\frac{\lambda_1\sigma_2-\lambda_2\sigma_1}{\sigma_2-\sigma_1}.\tag{8}\]