Logo
Logo

Определение показателя преломления

Показатель преломления материала — нелинейная величина, зависящая от длины волны падающего излучения. Эта зависимость может быть ключевым свойством материала при изготовлении простейших спектроскопических приборов (к примеру — призм). В то же время зависимость показателя преломления от длины волны бывает губительна в других оптических приборах, в частности там, где важна точная фокусировка лучей. В последнее время появляется всё больше новых материалов и веществ, оптические свойства которых необходимо исследовать. В этой задаче мы попробуем определить зависимость показателя преломления неизвестной жидкости от длины волны, используя жидкость, для которой эта зависимость уже известна.

Схема измерений представлена на рисунке ниже. На воздушную призму с тонкими стенками с углом $\alpha=30^{\circ}$ при вершине, погружённую в исследуемую жидкость, падает тонкий луч источника. Луч падает на одну из граней призмы перпендикулярно в точке $A$ и затем выходит из призмы в точке $B$. Из-за зависимости показателя преломления от длины волны углы, под которыми лучи разной длины волны выйдут из призмы, будут различаться. На расстоянии $L$ от точки $B$ находится экран, перпендикулярный $AO$. Для удобства дальнейшей работы введём безразмерную величину $x=\frac yL$. На экране размещено множество светочувствительных элементов, которые измеряют интенсивность $\mathcal J_x(x)$ (мощность, падающую на единицу площади поверхности в единицу времени) в точках, в которых они расположены.

Часть А. Спектральные свойства источника (3.77 балла).

Обычный источник света (такой как настольная лампа) характеризуется тем, что излучает свет не одной длины волны (как это делает лазер), а длин волн сразу в некотором диапазоне. Чтобы охарактеризовать его излучение, введём понятие спектральной плотности $\mathcal J_\lambda(\lambda)$. Мы определяем её так, чтобы мощность, излучаемая источником в диапазоне длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$, равнялась $\mathcal J_\lambda(\lambda)\Delta\lambda$, где $\Delta\lambda$ — малая величина. В этой части задачи мы исследуем спектральную плотность источника.

Выясним сначала, в какую точку $x$ на экране должен попадать луч, проходящий через призму, в зависимости от показателя преломления жидкости. Применив закон Снеллиуса для лучей получим следующую формулу для зависимости $x$ от $n$:\[x=\operatorname{tg}\alpha\frac{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}-\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}+\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha}.\tag{1}\]Чтобы по известному значению $x$ восстановить значение $n$, формулу (1) необходимо "обратить". В результате несложных вычислений получим:\[n=\frac{\sqrt{1+x^2}}{1-x\operatorname{ctg}\alpha}.\tag{2}\]Показатель преломления большинства прозрачных материалов в видимом диапазоне можно приближённо описать формулой:\[n(\lambda)=A+\frac B{\lambda^2},\tag{3}\]где $A$ и $B$ — некоторые постоянные.

Сначала измерения проводят в известной жидкости, для которой эти постоянные равны $A=1.14$ и $B=8.6\cdot10^4 нм^{2}$. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal J_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.

$x$;$\mathcal J_x$;;;;;; 0.1250;0;;;;;; 0.1275;4917;;;;;; 0.1300;4024;;;;;; 0.1325;2854;;;;;; 0.1350;1805;;;;;; 0.1375;1393;;;;;; 0.1400;1322;;;;;; 0.1425;1545;;;;;; 0.1450;1701;;;;;; 0.1475;1819;;;;;; 0.1500;1870;;;;;; 0.1525;1736;;;;;; 0.1550;1529;;;;;; 0.1575;1595;;;;;; 0.1600;1875;;;;;; 0.1625;2360;;;;;; 0.1650;2775;;;;;; 0.1675;3098;;;;;; 0.1700;2918;;;;;; 0.1725;2780;;;;;; 0.1750;2375;;;;;; 0.1775;2181;;;;;; 0.1800;2281;;;;;; 0.1825;2390;;;;;; 0.1850;2506;;;;;; 0.1875;2578;;;;;; 0.1900;2428;;;;;; 0.1925;2146;;;;;; 0.1950;1823;;;;;; 0.1975;1546;;;;;; 0.2000;1428;;;;;; 0.2025;1333;;;;;; 0.2050;1342;;;;;; 0.2075;1366;;;;;; 0.2100;1326;;;;;; 0.2125;1251;;;;;; 0.2150;1169;;;;;; 0.2175;986;;;;;; 0.2200;822;;;;;; 0.2225;702;;;;;; 0.2250;0;;;;;;

A1  0.41 Для каждого $x$ найдите $n$.

A2  0.82 Для каждого $x$ найдите $\lambda$.

Чтобы получить формулу для спектральной плотности $\mathcal J_\lambda$, необходимо провести более сложные расчёты. Ограничимся здесь лишь итоговой формулой для спектральной плотности:\[\mathcal J_\lambda=\frac{2B\sqrt{1+x^2}}{\lambda^3}\frac{(1-x\operatorname{ctg}\alpha)^2}{x+\operatorname{ctg}\alpha}\mathcal J_x.\tag{4}\]

A3  0.82 Для каждого $x$ найдите $\mathcal J_\lambda$ (в условных единицах на нм). Поскольку для каждого $x$ мы уже вычислили $\lambda$, мы получили зависимость $\mathcal J_\lambda(\lambda)$.

A4  0.49 Постройте график $\mathcal J_\lambda(\lambda)$.

В дальнейшем нам также понадобится посчитать, какая доля мощности источника излучается на длинах волн, меньших некоторого значения $\lambda$. Обозначим эту величину как $\sigma(\lambda)$. Для её нахождения надо посчитать площадь под графиком $\mathcal J_x$. Это мы будем делать методом трапеций.

Пусть нам известны значения $f_i$ функции $f(x)$ в точках $x_i$. Тогда площадь под графиком этой функции можно оценить как сумму площадей трапеций, построенных, как показано на рисунке ниже.

Поскольку в нашем случае точки $x_i$ расположены через равные интервалы, формула для итоговой площади $S_k$ под графиком между точками $x_0$ и $x_k$ имеет вид:\[S_k\approx\left(\frac{f_0+f_k}2+\sum_{i=1}^{k-1}f_i\right)\Delta x,\tag{5}\]где $\Delta x=x_{i+1}-x_i$ — расстояние между соседними точками.

A6  1.23 Найдите для каждого $x$ значение $\sigma$. Поскольку для каждого $x$ мы нашли $\lambda$, мы получили также зависимость $\lambda(\sigma)$.

Часть B. Зависимость показателя преломления от длины волны (6.23 балла).

Теперь жидкость, в которую погружена призма, заменим на неизвестную, зависимость показателя которой от длины волны мы хотим найти. Схема эксперимента остаётся той же. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal J_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.

$x$;$\mathcal J_{x}$;;;;;; 0.050;0;;;;;; 0.055;3746;;;;;; 0.060;3194;;;;;; 0.065;2647;;;;;; 0.070;2040;;;;;; 0.075;1419;;;;;; 0.080;1073;;;;;; 0.085;1111;;;;;; 0.090;1240;;;;;; 0.095;1365;;;;;; 0.100;1499;;;;;; 0.105;1609;;;;;; 0.110;1622;;;;;; 0.115;1572;;;;;; 0.120;1370;;;;;; 0.125;1450;;;;;; 0.130;1543;;;;;; 0.135;2023;;;;;; 0.140;2506;;;;;; 0.145;2893;;;;;; 0.150;2974;;;;;; 0.155;2620;;;;;; 0.160;2532;;;;;; 0.165;2168;;;;;; 0.170;2073;;;;;; 0.175;2274;;;;;; 0.180;2652;;;;;; 0.185;2744;;;;;; 0.190;2514;;;;;; 0.195;2427;;;;;; 0.200;1927;;;;;; 0.205;1570;;;;;; 0.210;1496;;;;;; 0.215;1551;;;;;; 0.220;1620;;;;;; 0.225;1589;;;;;; 0.230;1455;;;;;; 0.235;1339;;;;;; 0.240;1107;;;;;; 0.245;921;;;;;; 0.250;0;;;;;;

B1  0.41 Для каждого $x$ найдите $n$.

B2  1.23 Найдите для каждого $x$ значение $\sigma$.

В прошлой части задачи мы получили зависимость $\sigma(\lambda)$, которая теперь позволит нам восстановить $n(\lambda)$ для неизвестной жидкости. Однако значения $\sigma$, полученные в предыдущей части, не совпадают со значениями, полученными здесь. Чтобы узнать, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные в предыдущем пункте $\sigma$, прибегнем к т.н. линейной интерполяции зависимости $\lambda(\sigma)$.

Суть линейной интерполяции состоит в следующем. Пусть нам известны значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ функции $\lambda(\sigma)$ в точках $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Если эти точки находятся достаточно близко друг к другу, то с хорошей точностью можно приблизить функцию между этими двумя точками участком прямой. Это позволяет нам приближённо восстановить значения функции для $\sigma_1 < \sigma < \sigma_2$.

Выведем формулу, определяющую $\lambda(\sigma)$. Поскольку функцию мы приближаем линейной, то искомую зависимость можно записать в виде:\[\lambda=a\sigma+b.\tag{6}\]Для нахождения $a$ и $b$ заметим, что эта прямая должна проходить через точки $(\sigma_1,\lambda_1)$ и $(\sigma_2,\lambda_2)$. Подставляя их в уравнение (6), получим систему уравнений:\[\begin{cases}\lambda_1=a\sigma_1+b,\\\lambda_2=a\sigma_2+b.\end{cases}\tag{7}\]Решая эту систему, получим окончательно:\[\lambda=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\sigma_2-\sigma_1}\sigma+\frac{\lambda_1\sigma_2-\lambda_2\sigma_1}{\sigma_2-\sigma_1}.\tag{8}\]

B3  4.10 С помощью линейной интерполяции найдите, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные значения $\sigma$. Поскольку $n$ были вычислены в $\bf B1$, мы получаем искомую зависимость $n(\lambda)$.

B4  0.49 Постройте график $n(\lambda)$ в удобном масштабе (кривая должна занимать большую часть графика по обеим осям, оси не обязательно должны начинаться с нуля).