Logo
Logo

Определение показателя преломления

Показатель преломления материала — нелинейная величина, зависящая от длины волны падающего излучения. Эта зависимость может быть ключевым свойством материала при изготовлении простейших спектроскопических приборов (к примеру — призм). В то же время зависимость показателя преломления от длины волны бывает губительна в других оптических приборах, в частности там, где важна точная фокусировка лучей. В последнее время появляется всё больше новых материалов и веществ, оптические свойства которых необходимо исследовать. В этой задаче мы попробуем определить зависимость показателя преломления неизвестной жидкости от длины волны, используя жидкость, для которой эта зависимость уже известна.

Схема измерений представлена на рисунке ниже. На воздушную призму с тонкими стенками с углом $\alpha=30^{\circ}$ при вершине, погружённую в исследуемую жидкость, падает тонкий луч источника. Луч падает на одну из граней призмы перпендикулярно в точке $A$ и затем выходит из призмы в точке $B$. Из-за зависимости показателя преломления от длины волны углы, под которыми лучи разной длины волны выйдут из призмы, будут различаться. На расстоянии $L$ от точки $B$ находится экран, перпендикулярный $AO$. Для удобства дальнейшей работы введём безразмерную величину $x=\frac yL$. На экране размещено множество светочувствительных элементов, которые измеряют интенсивность $\mathcal J_x(x)$ (мощность, падающую на единицу площади поверхности в единицу времени) в точках, в которых они расположены.

Часть А. Спектральные свойства источника (3.77 балла).

Обычный источник света (такой как настольная лампа) характеризуется тем, что излучает свет не одной длины волны (как это делает лазер), а длин волн сразу в некотором диапазоне. Чтобы охарактеризовать его излучение, введём понятие спектральной плотности $\mathcal J_\lambda(\lambda)$. Мы определяем её так, чтобы мощность, излучаемая источником в диапазоне длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$, равнялась $\mathcal J_\lambda(\lambda)\Delta\lambda$, где $\Delta\lambda$ — малая величина. В этой части задачи мы исследуем спектральную плотность источника.

Выясним сначала, в какую точку $x$ на экране должен попадать луч, проходящий через призму, в зависимости от показателя преломления жидкости. Применив закон Снеллиуса для лучей получим следующую формулу для зависимости $x$ от $n$:\[x=\operatorname{tg}\alpha\frac{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}-\cos\alpha}{\sqrt{n^2-\sin^2\alpha}+\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha}.\tag{1}\]Чтобы по известному значению $x$ восстановить значение $n$, формулу (1) необходимо "обратить". В результате несложных вычислений получим:\[n=\frac{\sqrt{1+x^2}}{1-x\operatorname{ctg}\alpha}.\tag{2}\]Показатель преломления большинства прозрачных материалов в видимом диапазоне можно приближённо описать формулой:\[n(\lambda)=A+\frac B{\lambda^2},\tag{3}\]где $A$ и $B$ — некоторые постоянные.

Сначала измерения проводят в известной жидкости, для которой эти постоянные равны $A=1.14$ и $B=8.6\cdot10^4 нм^{2}$. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal J_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.

$x$$\mathcal J_x$
0.12500
0.12754917
0.13004024
0.13252854
0.13501805
0.13751393
0.14001322
0.14251545
0.14501701
0.14751819
0.15001870
0.15251736
0.15501529
0.15751595
0.16001875
0.16252360
0.16502775
0.16753098
0.17002918
0.17252780
0.17502375
0.17752181
0.18002281
0.18252390
0.18502506
0.18752578
0.19002428
0.19252146
0.19501823
0.19751546
0.20001428
0.20251333
0.20501342
0.20751366
0.21001326
0.21251251
0.21501169
0.2175986
0.2200822
0.2225702
0.22500

A1  0.41 Для каждого $x$ найдите $n$.

A2  0.82 Для каждого $x$ найдите $\lambda$.

Чтобы получить формулу для спектральной плотности $\mathcal J_\lambda$, необходимо провести более сложные расчёты. Ограничимся здесь лишь итоговой формулой для спектральной плотности:\[\mathcal J_\lambda=\frac{2B\sqrt{1+x^2}}{\lambda^3}\frac{(1-x\operatorname{ctg}\alpha)^2}{x+\operatorname{ctg}\alpha}\mathcal J_x.\tag{4}\]

A3  0.82 Для каждого $x$ найдите $\mathcal J_\lambda$ (в условных единицах на нм). Поскольку для каждого $x$ мы уже вычислили $\lambda$, мы получили зависимость $\mathcal J_\lambda(\lambda)$.

A4  0.49 Постройте график $\mathcal J_\lambda(\lambda)$.

В дальнейшем нам также понадобится посчитать, какая доля мощности источника излучается на длинах волн, меньших некоторого значения $\lambda$. Обозначим эту величину как $\sigma(\lambda)$. Для её нахождения надо посчитать площадь под графиком $\mathcal J_x$. Это мы будем делать методом трапеций.

Пусть нам известны значения $f_i$ функции $f(x)$ в точках $x_i$. Тогда площадь под графиком этой функции можно оценить как сумму площадей трапеций, построенных, как показано на рисунке ниже.

Поскольку в нашем случае точки $x_i$ расположены через равные интервалы, формула для итоговой площади $S_k$ под графиком между точками $x_0$ и $x_k$ имеет вид:\[S_k\approx\left(\frac{f_0+f_k}2+\sum_{i=1}^{k-1}f_i\right)\Delta x,\tag{5}\]где $\Delta x=x_{i+1}-x_i$ — расстояние между соседними точками.

A6  1.23 Найдите для каждого $x$ значение $\sigma$. Поскольку для каждого $x$ мы нашли $\lambda$, мы получили также зависимость $\lambda(\sigma)$.

Часть B. Зависимость показателя преломления от длины волны (6.23 балла).

Теперь жидкость, в которую погружена призма, заменим на неизвестную, зависимость показателя которой от длины волны мы хотим найти. Схема эксперимента остаётся той же. В таблице в листе ответов приведены значения интенсивности $\mathcal J_x$ в условных единицах в точках с координатой $x$.

$x$$\mathcal J_{x}$
0.0500
0.0553746
0.0603194
0.0652647
0.0702040
0.0751419
0.0801073
0.0851111
0.0901240
0.0951365
0.1001499
0.1051609
0.1101622
0.1151572
0.1201370
0.1251450
0.1301543
0.1352023
0.1402506
0.1452893
0.1502974
0.1552620
0.1602532
0.1652168
0.1702073
0.1752274
0.1802652
0.1852744
0.1902514
0.1952427
0.2001927
0.2051570
0.2101496
0.2151551
0.2201620
0.2251589
0.2301455
0.2351339
0.2401107
0.245921
0.2500

B1  0.41 Для каждого $x$ найдите $n$.

B2  1.23 Найдите для каждого $x$ значение $\sigma$.

В прошлой части задачи мы получили зависимость $\sigma(\lambda)$, которая теперь позволит нам восстановить $n(\lambda)$ для неизвестной жидкости. Однако значения $\sigma$, полученные в предыдущей части, не совпадают со значениями, полученными здесь. Чтобы узнать, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные в предыдущем пункте $\sigma$, прибегнем к т.н. линейной интерполяции зависимости $\lambda(\sigma)$.

Суть линейной интерполяции состоит в следующем. Пусть нам известны значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$ функции $\lambda(\sigma)$ в точках $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Если эти точки находятся достаточно близко друг к другу, то с хорошей точностью можно приблизить функцию между этими двумя точками участком прямой. Это позволяет нам приближённо восстановить значения функции для $\sigma_1 < \sigma < \sigma_2$.

Выведем формулу, определяющую $\lambda(\sigma)$. Поскольку функцию мы приближаем линейной, то искомую зависимость можно записать в виде:\[\lambda=a\sigma+b.\tag{6}\]Для нахождения $a$ и $b$ заметим, что эта прямая должна проходить через точки $(\sigma_1,\lambda_1)$ и $(\sigma_2,\lambda_2)$. Подставляя их в уравнение (6), получим систему уравнений:\[\begin{cases}\lambda_1=a\sigma_1+b,\\\lambda_2=a\sigma_2+b.\end{cases}\tag{7}\]Решая эту систему, получим окончательно:\[\lambda=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\sigma_2-\sigma_1}\sigma+\frac{\lambda_1\sigma_2-\lambda_2\sigma_1}{\sigma_2-\sigma_1}.\tag{8}\]

B3  4.10 С помощью линейной интерполяции найдите, каким значениям $\lambda$ соответствуют полученные значения $\sigma$. Поскольку $n$ были вычислены в $\bf B1$, мы получаем искомую зависимость $n(\lambda)$.

B4  0.49 Постройте график $n(\lambda)$ в удобном масштабе (кривая должна занимать большую часть графика по обеим осям, оси не обязательно должны начинаться с нуля).