В данной части задачи вам предстоит получить зависимости силы $F$ и потенциальной энергии $W_p$ взаимодействия между шаром и проводом.
Примечание: во всех пунктах частей $\mathrm{A}$ — $\mathrm{C}$ считайте, что расстояние $r$ между центром шара и проводом велико по сравнению с радиусом $R$ шара.
Решим следующие вспомогательные задачи:
Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$.
Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.
$$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z}
$$
где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$.
Найдите силу $F_z$, действующую на шар.
Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.
Перейдём к взаимодействию шара с проводом.
$$W_p=-\cfrac{A}{r^2}
$$
Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.
В дальнейшем во всех пунктах частей $\mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ используйте выражения для силы и потенциальной энергии взаимодействия шара с проводом, полученные в пунктах $\mathrm{A4}$ и $\mathrm{A5}$ соответственно.
Примечание: Выражение для величины $A$ понадобится вам только в пункте $\bf{C4}$.
Шар летит по направлению «на провод» из бесконечности с начальной скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b$.
В данной части задачи вам необходимо приближённо получить условия, при которых между шаром и проводом в дальнейшем не будет контакта.
При начальной скорости $v_0$ шара, меньшей критического значения $v_{crit}$, шар сталкивается с проводом.
Для описания траектории центра шара введём полярную систему координат $(r,\varphi)$ с началом на оси провода. Угол $\varphi$ будем отсчитывать от направления на бесконечность.
Также воспользуемся подстановкой Бине:
$$u=\cfrac{1}{r}
$$
Обозначим $\cfrac{du}{d\varphi}$ за $u'$, а $\cfrac{dr}{dt}$ и $\cfrac{d\varphi}{dt}$ за $\dot{r}$ и $\dot{\varphi}$ соответственно.
Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$.
Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.
Уравнения, полученные в первых трёх частях задачи, применимы далеко не всегда, однако данная задача может быть решена и точно. Вопрос о траектории изучаться далее не будет, однако будут точно получены условия отсутствия контакта между шариком и проводом.
Примечание: вам может понадобиться следующая первообразная:
$$\int\cfrac{dx}{a^2+b^2x^2}=\cfrac{1}{ab}\arctan \left( \cfrac{bx}{a} \right) +C$$
Перейдём к взаимодействию шарика с проводом. Центр незаряженного металлического шара радиуса $R$ находится на расстоянии $r$ от провода.
Проведём из центра шара две линии, составляющие углы $\alpha$ и $\alpha+d\alpha$ с направлением «на провод». Заряд элемента провода в области пересечения с линиями обозначим за $dq_1$, заряды-изображения данного элемента - за $dq_2$ и $-dq_2$, а расстояния от заряда $-dq_2$ до центра шара и до провода - за $S$ и $r_{-}$ соответственно.
Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$.
Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.
Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.
Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.
Незаряженный металлический шар радиусом $R$ и массой $m$ налетает из бесконечности на провод со скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b>R$.
В данной части задачи для разных соотношений $b/R$ мы получим ограничения на скорость $v_0$, при которых шар движется, не контактируя с проводом.
Минимально возможную скорость, при который движение шара происходит без контакта с проводом, обозначим за $v_{crit}$.
Параметр $\theta$ в момент максимального сближения шара с проводом обозначим за $\theta_{max}$.
Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$.