Часть A. Взаимодействие шара с проводом на больших расстояниях (2.4 балла)

В данной части задачи вам предстоит получить зависимости силы $F$ и потенциальной энергии $W_p$ взаимодействия между шаром и проводом.

Примечание: во всех пунктах частей $\mathrm{A}$ — $\mathrm{C}$ считайте, что расстояние $r$ между центром шара и проводом велико по сравнению с радиусом $R$ шара.

Решим следующие вспомогательные задачи:

A1  ^0.80 Металлический шар радиуса $R$ помещён в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.

A2  ^0.50 Пусть шар расположен в электрическом поле, направленном вдоль оси $z$, напряжённость которого меняется по закону: $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.

Перейдём к взаимодействию шара с проводом.

A3  ^0.20 Найдите величину электрического поля провода $E_\text{п}$ на расстоянии $r$ от него. Ответ выразите через $\lambda$, $r$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

A4  ^0.50 Найдите величину и направление (притяжение или отталкивание) силы $F$, действующей на шар со стороны провода на расстоянии $r$ от него. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $r$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

A5  ^0.40 Покажите, что механическая потенциальная энергия $W_p$ шара в поле провода при расстоянии $r$ между проводом и центром шара равна: $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

В дальнейшем во всех пунктах частей $\mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ используйте выражения для силы и потенциальной энергии взаимодействия шара с проводом, полученные в пунктах $\mathrm{A4}$ и $\mathrm{A5}$ соответственно.

Примечание: Выражение для величины $A$ понадобится вам только в пункте $\bf{C4}$.

Часть B. Условие отсутствия контакта (0.8 балла)

Шар летит по направлению «на провод» из бесконечности с начальной скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b$.

В данной части задачи вам необходимо приближённо получить условия, при которых между шаром и проводом в дальнейшем не будет контакта.

B1  ^0.60 Найдите минимальное расстояние $r_{\min}$ между центром шара и проводом в процессе движения, считая, что столкновения не происходит. Ответ выразите через $A$, $b$, $m$ и $v_0$.

При начальной скорости $v_0$ шара, меньшей критического значения $v_{crit}$, шар сталкивается с проводом.

B2  ^0.20 Найдите $v_{crit}$. Ответ выразите через $A$, $b$ и $m$.

Часть C. Траектория движения (2.5 балла)

Для описания траектории центра шара введём полярную систему координат $(r,\varphi)$ с началом на оси провода. Угол $\varphi$ будем отсчитывать от направления на бесконечность.

Также воспользуемся подстановкой Бине: $$u=\cfrac{1}{r} $$ Обозначим $\cfrac{du}{d\varphi}$ за $u'$, а $\cfrac{dr}{dt}$ и $\cfrac{d\varphi}{dt}$ за $\dot{r}$ и $\dot{\varphi}$ соответственно.

C1  ^0.40 Выразите $u'$ через $r$, $\dot{r}$ и $\dot{\varphi}$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$.

C2  ^0.30 Выразите механическую энергию $E$ шара через $m$, $u$, $u'$, $v_0$, $b$ и $A$.

C3  ^0.70 Получите зависимость $u(\varphi)$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $b$, $A$ и $\varphi$.

C4  ^0.60 В листе ответов качественно постройте траекторию центра шара в координатах $u{,}\varphi$. Координаты всех характерных точек могут быть выражены через $m$, $v_0$, $b$ и $A$.

C5  ^0.50 Используя значение параметра $A$, найденное в пункте $\bf{A4}$, найдите начальную скорость шара $v_1$, при которой за время взаимодействия между ним и проводом направление скорости шара изменяется на противоположное. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.

Уравнения, полученные в первых трёх частях задачи, применимы далеко не всегда, однако данная задача может быть решена и точно. Вопрос о траектории изучаться далее не будет, однако будут точно получены условия отсутствия контакта между шариком и проводом.

Часть D. Нахождение силы взаимодействия шарика с проводом методом изображений (3.5 балла)

Примечание: вам может понадобиться следующая первообразная:

$$\int\cfrac{dx}{a^2+b^2x^2}=\cfrac{1}{ab}\arctan \left( \cfrac{bx}{a} \right) +C$$

D1  ^0.60 Найдите $S$ и $q_2$. Ответы выразите через $R$, $L$ и $q$.

Перейдём к взаимодействию шарика с проводом. Центр незаряженного металлического шара радиуса $R$ находится на расстоянии $r$ от провода.

Проведём из центра шара две линии, составляющие углы $\alpha$ и $\alpha+d\alpha$ с направлением «на провод». Заряд элемента провода в области пересечения с линиями обозначим за $dq_1$, заряды-изображения данного элемента - за $dq_2$ и $-dq_2$, а расстояния от заряда $-dq_2$ до центра шара и до провода - за $S$ и $r_{-}$ соответственно.

D2  ^0.40 Найдите $dq_1$, $dq_2$, $S$ и $r_{-}$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$.

D3  ^0.20 Найдите величину и направление (притяжение или отталкивание) векторной суммы сил $d\vec{F}=d\vec{F}_++d\vec{F}_-$ взаимодействия зарядов $dq_2$ и $-dq_2$ с проводом. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$, $d\alpha$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.

D4  ^1.00 Найдите величину и направление полной силы взаимодействия шара с проводом $F_\text{полн}$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$.

D5  ^1.00 Найдите потенциальную энергию $W_p$ взаимодействия шарика с проводом. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

D6  ^0.30 Какую скорость $v_\text{ст}$ будет иметь незаряженный металлический шар радиусом $R$ и массой $m$ при столкновении с проводом, если его из бесконечности отпустить без начальной скорости? Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

Часть E. Точные условия отсутствия контакта (2.8 балла)

Незаряженный металлический шар радиусом $R$ и массой $m$ налетает из бесконечности на провод со скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b>R$. В данной части задачи для разных соотношений $b/R$ мы получим ограничения на скорость $v_0$, при которых шар движется, не контактируя с проводом. Минимально возможную скорость, при который движение шара происходит без контакта с проводом, обозначим за $v_{crit}$. Параметр $\theta$ в момент максимального сближения шара с проводом обозначим за $\theta_{max}$.

E1  ^0.40 Для заданного значения $v_0$ получите зависимость квадрата радиальной компоненты скорости $\dot{r}^2$ от параметра $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$.

E2  ^0.60 Постройте качественные графики зависимости $\dot{r}^2(\theta)$ при разных значениях $v_0$.

E3  ^0.60 Считая все величины, кроме $v_0$, постоянными, получите систему уравнений, позволяющую определить величину $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$.

E4  ^1.20 Найдите $v_{crit1}$, $v_{crit2}$ и $v_{crit3}$, соответствующие следующим значениям $b$ : $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.