|
A1. 1
Выписано суммарное поле (диполя + однородное)
$$ \vec{E}=\vec{E}_0+\cfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\cfrac{3\left(\vec{p}\cdot{\vec{r}}\right)\vec{r}}{r^5}-\cfrac{\vec{p}}{r^3}\right) $$ |
0.30 |
|
| A1. 2 Дипольный момент выбирается из условия, что $\vec{E }\: ||\: \vec r$ при $r = R$ | 0.30 |
|
|
A1. 3
$$
\vec{p}=4\pi\epsilon_0R^3\vec{E}_0 $$ |
0.20 |
|
|
A2. 1
$$
\vec F = p(E_0) \cdot \frac{\partial \vec E}{\partial z} $$ |
0.40 |
|
|
A2. 2
$$
F_z=4\pi{R}^3\epsilon_0E_0k $$ |
0.10 |
|
|
A3. 1
$$
E_\text{п}=\cfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} $$ |
0.20 |
|
|
A4. 1
$$
p=\cfrac{2\lambda R^3}{r} $$ |
0.15 |
|
|
A4. 2
$$\cfrac{dE_r}{dr}=-\cfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r^2}
$$ |
0.15 |
|
|
A4. 3
$$
F=\cfrac{\lambda^2R^3}{\pi\epsilon_0r^3} $$ |
0.10 |
|
| A4. 4 Шар притягивается к проводу. | 0.10 |
|
|
A5. 1
$$W_p=-\int\limits_r^{\infty}Fdr
$$ |
0.10 |
|
|
A5. 2
$$
A=\cfrac{\lambda^2R^3}{2\pi\epsilon_0} $$ |
0.30 |
|
| A5. 3 Ошибка в знаке при правильном модуле, либо ошибка в модуле при правильном знаке. | -0.20 |
|
|
B1. 1
Комбинация ЗСЭ и ЗСМИ
$$ \cfrac{m\dot{r}^2}{2}+\cfrac{mv^2_0b^2}{2r^2}-\cfrac{A}{r^2}=\cfrac{mv^2_0}{2} $$ |
0.50 |
|
|
B1. 2
$$
r_{min}=\sqrt{b^2-\cfrac{2A}{mv^2_0}} $$ |
0.10 |
|
|
B2. 1
$$
v_{crit}=\cfrac{1}{b}\sqrt{\cfrac{2A}{m}} $$ |
0.20 |
|
|
C1. 1
$$
u'=-\cfrac{\dot{r}}{r^2\dot{\varphi}} $$ |
0.20 |
|
|
C1. 2
$$
u'(0)=\cfrac{1}{b} $$ |
0.20 |
|
|
C2. 1
$$
E=\cfrac{m\dot{r}^2}{2}+\cfrac{mv^2_0b^2}{2r^2}-\cfrac{A}{r^2} $$ |
0.10 |
|
|
C2. 2
$$
E=\cfrac{mv^2_0b^2}{2}\left(u'^2+u^2\right)-Au^2 $$ |
0.20 |
|
| C3. 1 Замечено, что при $v>v_{crit}\:$ $u$ удовлетворяет уравнению гармонических колебаний | 0.20 |
|
|
C3. 2
Циклическая частота
$$ \omega_0=\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}} $$ |
0.20 |
|
|
C3. 3
$$
u(\varphi)=\cfrac{1}{b\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}}\sin\left(\varphi\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}\right) $$ (По 0.15 за амплитуду и фазу синуса) |
2 × 0.15 |
|
| C4. 1 На графике нарисована половина периода синусоиды | 0.30 |
|
|
C4. 2
Отмечен максимум
$$ u_{max}=\cfrac{1}{b\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}} $$ |
0.15 |
|
|
C4. 3
Отмечен угол, соответствующий максимуму:
$$ \varphi_{max} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}} $$ либо отмечен конечный угол $$ \varphi_{end} = \frac{\pi}{\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}} $$ |
0.15 |
|
|
C5. 1
Уравнение на $\omega_0$
$$ \omega_0=\cfrac{1}{2} $$ |
0.30 |
|
|
C5. 2
$$
v_1=\cfrac{2\lambda R}{b}\sqrt{\cfrac{R}{3\pi\epsilon_0m}} $$ |
0.20 |
|
| D1. 1 Составлена система уравнений, позволяющая определить $S$ и $q_2$. | 2 × 0.15 |
|
|
D1. 2
$$S=\cfrac{R^2}{L}\qquad q_2=\cfrac{q_1R}{L}
$$ |
2 × 0.15 |
|
|
D2. 1
$$
dq_1=\cfrac{\lambda r}{\cos^2\alpha}d\alpha $$ |
0.10 |
|
|
D2. 2
$$
dq_2=\cfrac{\lambda R}{\cos\alpha}d\alpha $$ |
0.10 |
|
|
D2. 3
$$
S=\cfrac{R^2\cos\alpha}{r} $$ |
0.10 |
|
|
D2. 4
$$
r_{-}=r-\cfrac{R^2\cos^2\alpha}{r} $$ |
0.10 |
|
|
D3. 1
$$
dF=\cfrac{\lambda dq_2}{2\pi\epsilon_0}\left(\cfrac{1}{r_{-}}-\cfrac{1}{r}\right) $$ |
0.05 |
|
|
D3. 2
$$
dF=\cfrac{\lambda^2R^3}{2\pi\epsilon_0r^3}\cfrac{\cos\alpha d\alpha}{1-\cfrac{R^2}{r^2}+\cfrac{R^2}{r^2}\sin^2\alpha} $$ |
0.10 |
|
| D3. 3 Направление: притяжение | 0.05 |
|
| D4. 1 Интеграл для силы приведён к виду $\displaystyle\int\cfrac{dx}{a^2+b^2x^2}$ | 0.40 |
|
| D4. 2 Правильно указаны пределы интегрирования. | 0.20 |
|
|
D4. 3
$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cfrac{\cos\alpha d\alpha}{1-\cfrac{R^2}{r^2}+\cfrac{R^2}{r^2}\sin^2\alpha}=2\arctan\cfrac{R}{\sqrt{r^2-R^2}}
$$ |
0.20 |
|
| D4. 4 Шар притягивается к проводу | 0.10 |
|
|
D4. 5
Модуль силы притяжения равен
$$ F=\cfrac{\lambda^2}{\pi\epsilon_0}\cfrac{\sin^2\theta\cdot{\theta}}{\cos\theta} $$ |
0.10 |
|
|
D5. 1
$$dr=-\cfrac{R\cos\theta d\theta}{\sin^2\theta}
$$ |
0.20 |
|
|
D5. 2
$$W_p=-\int\limits_r^{\infty}F(r)dr
$$ |
0.10 |
|
|
D5. 3
$$
W_p(\theta)=-k\cfrac{\theta^2}{2} $$ где $k$ - некоторый положительный коэффициент. |
0.50 |
|
|
D5. 4
Правильный коэффициент $k$:
$$ W_p(\theta)=-\cfrac{\lambda^2R\theta^2}{2\pi\epsilon_0} $$ |
0.20 |
|
| D6. 1 В момент контакта шара и провода $\theta=\cfrac{\pi}{2}$. | 0.10 |
|
|
D6. 2
$$
v=\cfrac{\pi\lambda}{2}\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}} $$ |
0.20 |
|
|
E1. 1
$$
\dot{r}^2=v^2_0-v^2_0\cfrac{b^2}{R^2}\sin^2\theta+\cfrac{\lambda^2R}{\pi\epsilon_0m}\theta^2 $$ Если $W_p$ не пропорциональна $\theta^2$ - пункт не оценивается. |
0.40 |
|
| E2. 1 Правильный качественный вид кривой каждого вида. | 3 × 0.20 |
|
| E3. 1 Уравнение, связывающее $v_0$ и $\theta_{max}$ получается из $\dot r=0$ | 0.10 |
|
|
E3. 2
$$
\left(\cfrac{b^2\sin^2\theta_{max}}{R^2}-1\right)=\cfrac{\lambda^2R\theta^2_{max}}{mv^2_0\pi\epsilon_0} $$ |
0.10 |
|
| E3. 3 Второе уравнение для $v_{crit}$ получено дифференцированием первого по $v_0$ | 0.20 |
|
|
E3. 4
$$
\cfrac{b^2\sin2\theta_{max}}{R^2}=\cfrac{2\lambda^2R\theta_{max}}{mv^2_0\pi\epsilon_0} $$ |
0.20 |
|
|
E4. 1
Уравнение на $\theta_{max}$
$$ \cfrac{k^2\sin^2\theta_{max}-1}{k^2\sin2\theta_{max}}=\cfrac{\theta_{max}}{2}; \quad k=\cfrac{b}{R} $$ |
0.20 |
|
|
E4. 2
Значения $\theta_{max}$
$$\theta_{max1}=0{,}296~\text{рад}\quad\theta_{max2}=0{,}793~\text{рад}\quad\theta_{max3}=1{,}459~\text{рад} $$ |
3 × 0.20 |
|
|
E4. 3
$$
v_0=\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}\cdot{\cfrac{R}{b}\sqrt{\cfrac{2\theta_{max}}{\sin2\theta_{max}}}} $$ |
0.10 |
|
|
E4. 4
Ответы для скоростей
$$v_{crit1}\approx{5{,}15\cdot{10^{-2}}\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}}\quad v_{crit2}\approx{3{,}15\cdot{10^{-1}}\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}}\quad v_{crit3}\approx{3{,}30\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}} $$ |
3 × 0.10 |
|