Pho.rs: Гравитационные волны

A1 ^1.40 Пусть электрон зарядом $-e$ и массы $m$ вращается вокруг атомного ядра зарядом $+Ze$ на расстоянии $r$ от него. Считайте эту систему НЕквантовой. Найдите полную мощность излучения и длину волны излученных волн. Ответ выразите через $e$, $Z$, $m$, $r$ и фундаментальные постоянные.

1 Выражение для второй производной дипольного момента системы: $$\ddot{\vec{d}}=-\vec{e}_+\cfrac{Ze^3}{4\pi\varepsilon_0mr^2} $$	0.60
2 Правильно записано только выражение для $\ddot{\vec{d}}$ через ускорения.	0.20
3 Ответ для $P_{ed}$: $$P_{ed}=\cfrac{1}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\cfrac{Ze^3}{4\pi\varepsilon_0mr^2}\right)^2 $$	0.20
4 Длина волны: $$\lambda=\cfrac{2\pi c}{\omega} $$	0.20
5 Нахождение $\omega$ из 2 закона Ньютона.	0.30
6 Ответ для $\lambda$: $$\lambda=\cfrac{2\pi rc}{e}\sqrt{\cfrac{4\pi\varepsilon_0mr}{Z}} $$	0.10

A2 ^1.00 Можно попробовать рассчитать мощность дипольного излучения для гравитационных волн. Заряду $q_i$ будет соответствовать масса $m_i$, и гравитационный дипольный момент будет $\vec{d}_g=\sum_i\vec{r}_im_i$. Покажите, что $P_{gd}=0$.

1 Приведено выражение для $d_g$ или $\ddot{\vec{d}_g}$.	0.50
2 Обоснование, что $\ddot{\vec{d}_g}=0$ (3 закон Ньютона или теорема о движении центра масс).	0.50

B1 ^1.00 Выразите $\omega$ через $M$, $R$ и фундаментальные постоянные.

1 Правильно записан 2 закон Ньютона для звезды:	0.80
2 Ответ для $\omega$: $$\omega=\sqrt{\cfrac{GM}{4R^3}} $$	0.20

B2 ^0.50 В пункте A2 нужно было показать, что дипольного гравитационного излучения нет. Зато есть квадрупольное. По аналогии с дипольным излучением, его мощность должна быть пропорциональна второй производной (по времени) квадрупольного момента.
Гравитационный квадрупольный момент пропорционален величине $MR^2$. Так, мощности квадрупольного излучения будет $P_{gd}=AM^2R^4$, где параметр $A$ зависит от $\omega$ и фундаментальных постоянных. (Считайте $\omega$ независимой величиной, хотя для двойной звезды она будет функцией $M$ и $R$.) Найдите выражение для $P_{gd}$ методом размерностей.

1 Указана размерность $A$ или $P$.	0.10
2 Идея: в выражение для $A$ входят только $c$, $G$, $\omega$.	0.10
3 Ответ для $P_{gq}$ (по 0.1 за каждый показатель): $$P_{gq}=\cfrac{G\omega^6}{c^5}M^2R^4 $$	3 × 0.10

B3 ^0.50 Гравитационные волны характеризуются следующей безразмерной величиной $h=\Delta{l}/l$, где $l$ – расстояние между двумя точками в пространстве, а $\Delta{l}$ – изменение этого расстояния из-за волны. Плотность потока энергии $S$ пропорциональна квадрату амплитуды $S=Kh^2_0$. Методом размерностей найдите $K$, как функцию $\omega$ и фундаментальных постоянных.

1 Указана размерность $K$ либо $S$.	0.10
2 Идея: в выражение для $K$ входят только $c$, $G$, $\omega$.	0.10
3 Ответ для $K$ (по 0.1 за каждый показатель): $$K=\cfrac{\omega^2c^3}{G} $$	3 × 0.10

B4 ^1.00 Распространение квадрупольного излучения, вообще говоря, анизотропно. В очень грубой модели, считая излучение изотропным, найдите амплитуду $h_0$ гравитационной волны на расстоянии $L$. Ответ выразите через $M$, $R$ и физические постоянные.

1 Идея: мощность $P_{gq}$ равна потоку энергии через сферу радиуса $L$.	0.40
2 Подстановка $S=Kh_0$ и $P_{gq}=AM^2R^4$.	0.40
3 Получен ответ: $$h_0=\cfrac{G^2M^2}{8\sqrt{\pi}c^4RL} $$	0.20

C1 ^1.00 Выразите $R_s$ через массу черной дыры $M$ и фундаментальные постоянные.
Примечание: Если произвести вычисления, используя только знания специальной теории относительности и закона всемирного тяготения, то верный ответ будет в два раза больше найденного.

1 Идея: использование релятивистской массы фотона (либо выражения $E=mc^2$).	0.70
2 Использована нерелятивистская кинетическая энергия $E=mc^2/2$	0.40
3 Ответ: $$R_S=\cfrac{2GM}{c^2} $$	0.30

C2 ^1.50 Используя график, приведённый на рис.1, оцените массу $M$ черных дыр, которые слились, считая их массы одинаковыми. Гравитационная постоянная $G=6.67\cdot{10^{-11}}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot{с}^2)$, скорость света $c=3\cdot{10^8}~\text{м}/\text{с}$.

1 Идея: амплитуда $h$ максимальна, когда радиус орбиты черных дыр $\sim{R_s}$.	0.30
2 Идея: нахождение угловой скорости орбитального движения из пункта $\mathrm B1$.	0.30
3 Нахождение периода $T$ из графика: $$T\in\left[4~\text{мс}{;}7~\text{мс}\right] $$	0.30
4 Подстановка $R_S$ из $\mathrm C1$ в $\mathrm B1$ (оценивается только факт наличия)	0.20
5 Получена формула для $M$: $$M=\cfrac{c^3T}{8\sqrt{2}\pi G} $$	0.20
6 Численное значение: $$M\sim{\left[10^{31}~\text{кг}{;}10^{32}~\text{кг}\right]} $$	0.20

C3 ^1.50 Оцените расстояние $L$ до этих черных дыр.

1 Нахождение $h_0$ из графика: $$h_0\in\left[0{,}8{;}1{,}2\right]\cdot{10^{-21}} $$	0.40
2 Подстановка $R_S$ из $\mathrm C1$ в $\mathrm B4$ (оценивается только факт наличия)	0.50
3 Получена формула для $L$: $$L=\cfrac{GM}{16\sqrt{\pi}c^2h_0} $$	0.30
4 Численное значение: $$L\sim{10^{24}~\text{м}} $$	0.30

Гравитационные волны

Разбалловка