Logo
Logo

Гравитационные волны

Разбалловка

A1  1.40 Пусть электрон зарядом $-e$ и массы $m$ вращается вокруг атомного ядра зарядом $+Ze$ на расстоянии $r$ от него. Считайте эту систему НЕквантовой. Найдите полную мощность излучения и длину волны излученных волн. Ответ выразите через $e$, $Z$, $m$, $r$ и фундаментальные постоянные.

A1. 1 Выражение для второй производной дипольного момента системы:
$$\ddot{\vec{d}}=-\vec{e}_+\cfrac{Ze^3}{4\pi\varepsilon_0mr^2}
$$
0.60
A1. 2 Правильно записано только выражение для $\ddot{\vec{d}}$ через ускорения. 0.20
A1. 3 Ответ для $P_{ed}$:
$$P_{ed}=\cfrac{1}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\cfrac{Ze^3}{4\pi\varepsilon_0mr^2}\right)^2
$$
0.20
A1. 4 Длина волны:
$$\lambda=\cfrac{2\pi c}{\omega}
$$
0.20
A1. 5 Нахождение $\omega$ из 2 закона Ньютона. 0.30
A1. 6 Ответ для $\lambda$:
$$\lambda=\cfrac{2\pi rc}{e}\sqrt{\cfrac{4\pi\varepsilon_0mr}{Z}}
$$
0.10
A2  1.00 Можно попробовать рассчитать мощность дипольного излучения для гравитационных волн. Заряду $q_i$ будет соответствовать масса $m_i$, и гравитационный дипольный момент будет $\vec{d}_g=\sum_i\vec{r}_im_i$. Покажите, что $P_{gd}=0$.

A2. 1 Приведено выражение для $d_g$ или $\ddot{\vec{d}_g}$. 0.50
A2. 2 Обоснование, что $\ddot{\vec{d}_g}=0$ (3 закон Ньютона или теорема о движении центра масс). 0.50
B1  1.00 Выразите $\omega$ через $M$, $R$ и фундаментальные постоянные.

B1. 1 Правильно записан 2 закон Ньютона для звезды: 0.80
B1. 2 Ответ для $\omega$:
$$\omega=\sqrt{\cfrac{GM}{4R^3}}
$$
0.20
B2  0.50 В пункте A2 нужно было показать, что дипольного гравитационного излучения нет. Зато есть квадрупольное. По аналогии с дипольным излучением, его мощность должна быть пропорциональна второй производной (по времени) квадрупольного момента.
Гравитационный квадрупольный момент пропорционален величине $MR^2$. Так, мощности квадрупольного излучения будет $P_{gd}=AM^2R^4$, где параметр $A$ зависит от $\omega$ и фундаментальных постоянных. (Считайте $\omega$ независимой величиной, хотя для двойной звезды она будет функцией $M$ и $R$.) Найдите выражение для $P_{gd}$ методом размерностей.

B2. 1 Указана размерность $A$ или $P$. 0.10
B2. 2 Идея: в выражение для $A$ входят только $c$, $G$, $\omega$. 0.10
B2. 3 Ответ для $P_{gq}$ (по 0.1 за каждый показатель):
$$P_{gq}=\cfrac{G\omega^6}{c^5}M^2R^4
$$
3 × 0.10
B3  0.50 Гравитационные волны характеризуются следующей безразмерной величиной $h=\Delta{l}/l$, где $l$ – расстояние между двумя точками в пространстве, а $\Delta{l}$ – изменение этого расстояния из-за волны. Плотность потока энергии $S$ пропорциональна квадрату амплитуды $S=Kh^2_0$. Методом размерностей найдите $K$, как функцию $\omega$ и фундаментальных постоянных.

B3. 1 Указана размерность $K$ либо $S$. 0.10
B3. 2 Идея: в выражение для $K$ входят только $c$, $G$, $\omega$. 0.10
B3. 3 Ответ для $K$ (по 0.1 за каждый показатель):
$$K=\cfrac{\omega^2c^3}{G}
$$
3 × 0.10
B4  1.00 Распространение квадрупольного излучения, вообще говоря, анизотропно. В очень грубой модели, считая излучение изотропным, найдите амплитуду $h_0$ гравитационной волны на расстоянии $L$. Ответ выразите через $M$, $R$ и физические постоянные.

B4. 1 Идея: мощность $P_{gq}$ равна потоку энергии через сферу радиуса $L$. 0.40
B4. 2 Подстановка $S=Kh_0$ и $P_{gq}=AM^2R^4$. 0.40
B4. 3 Получен ответ:
$$h_0=\cfrac{G^2M^2}{8\sqrt{\pi}c^4RL}
$$
0.20
C1  1.00 Выразите $R_s$ через массу черной дыры $M$ и фундаментальные постоянные.
Примечание: Если произвести вычисления, используя только знания специальной теории относительности и закона всемирного тяготения, то верный ответ будет в два раза больше найденного.

C1. 1 Идея: использование релятивистской массы фотона (либо выражения $E=mc^2$). 0.70
C1. 2 Использована нерелятивистская кинетическая энергия $E=mc^2/2$ 0.40
C1. 3 Ответ:
$$R_S=\cfrac{2GM}{c^2}
$$
0.30
C2  1.50 Используя график, приведённый на рис.1, оцените массу $M$ черных дыр, которые слились, считая их массы одинаковыми. Гравитационная постоянная $G=6.67\cdot{10^{-11}}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot{с}^2)$, скорость света $c=3\cdot{10^8}~\text{м}/\text{с}$.

C2. 1 Идея: амплитуда $h$ максимальна, когда радиус орбиты черных дыр $\sim{R_s}$. 0.30
C2. 2 Идея: нахождение угловой скорости орбитального движения из пункта $\mathrm B1$. 0.30
C2. 3 Нахождение периода $T$ из графика:
$$T\in\left[4~\text{мс}{;}7~\text{мс}\right]
$$
0.30
C2. 4 Подстановка $R_S$ из $\mathrm C1$ в $\mathrm B1$ (оценивается только факт наличия) 0.20
C2. 5 Получена формула для $M$:
$$M=\cfrac{c^3T}{8\sqrt{2}\pi G}
$$
0.20
C2. 6 Численное значение:
$$M\sim{\left[10^{31}~\text{кг}{;}10^{32}~\text{кг}\right]}
$$
0.20
C3  1.50 Оцените расстояние $L$ до этих черных дыр.

C3. 1 Нахождение $h_0$ из графика:
$$h_0\in\left[0{,}8{;}1{,}2\right]\cdot{10^{-21}}
$$
0.40
C3. 2 Подстановка $R_S$ из $\mathrm C1$ в $\mathrm B4$ (оценивается только факт наличия) 0.50
C3. 3 Получена формула для $L$:
$$L=\cfrac{GM}{16\sqrt{\pi}c^2h_0}
$$
0.30
C3. 4 Численное значение:
$$L\sim{10^{24}~\text{м}}
$$
0.30