|
1
$$\langle p_z\rangle=g_j\mu_B\cfrac{\sum\limits_{m=-j}^jme^{\alpha m}}{\sum\limits_{m=-j}^je^{\alpha m}}
$$ |
0.20 |
|
|
2
$$\sum\limits_{m=-j}^je^{\alpha m}=e^{-\alpha j}\cfrac{e^{\alpha(2j+1)}-1}{e^\alpha-1}=\cfrac{\sinh\left(\cfrac{\alpha(2j+1)}{2}\right)}{\sinh\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}
$$ |
0.30 |
|
|
3
$$\sum\limits_{m=-j}^jme^{\alpha m}=\cfrac{\partial}{\partial\alpha}\sum\limits_{m=-j}^je^{\alpha m}
$$ |
0.20 |
|
|
4
$$\sum\limits_{m=-j}^jme^{\alpha m}=\cfrac{\cfrac{2j+1}{2}\cosh\left(\cfrac{\alpha(2j+1)}{2}\right)\sinh\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)-\cfrac{1}{2}\sinh\left(\cfrac{\alpha(2j+1)}{2}\right)\cosh\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}{\sinh^2\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}
$$ |
0.30 |
|
|
5
Итоговая формула:
$$\langle p_z\rangle=g_j\mu_B\left[\cfrac{2j+1}{2}\coth\left(\cfrac{\alpha(2j+1)}{2}\right)-\cfrac{1}{2}\coth\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)\right] $$ |
0.10 |
|
|
1
$$\langle p_z\rangle=\cfrac{g_j\mu_Bj(j+1)}{3}\alpha\quad\text{при}\quad\alpha\to{0}
$$ |
0.30 |
|
|
2
$$\langle p_z\rangle=g_j\mu_Bj\quad\text{при}\quad\alpha\to{\infty}
$$ |
0.20 |
|
| 3 График: монотонное возрастание. | 0.20 |
|
| 4 График: прямая пропорциональность при малых $\alpha$. | 0.20 |
|
| 5 График: выход на константу при больших $\alpha$. | 0.20 |
|
|
1
$$\chi=\cfrac{\mu_0n\langle p_z\rangle}{B}
$$ |
0.10 |
|
|
2
Итоговая формула:
$$\chi=\cfrac{\mu_0ng^2_j\mu^2_Bj(j+1)}{3kT} $$ |
0.80 |
|
|
1
Линеаризация:
$$\ln\cfrac{B}{1~\text{Тл}}=\ln\cfrac{B_0}{1~\text{Тл}}-\cfrac{r}{a} $$ |
0.20 |
|
|
2
Определён угловой коэффициент:
$$k=-\cfrac{1}{a}=-0{,}4454~\text{мм}^{-1} $$ |
0.20 |
|
|
3
Определён свободный член:
$$b=\ln\cfrac{B_0}{1~\text{Тл}}=-0{,}0118 $$ |
0.20 |
|
|
4
$$a=2{,}25~\text{мм}
$$ |
0.10 |
|
|
5
$$B_0=1~\text{Тл}
$$ |
0.10 |
|
|
1
$$p=MV=\cfrac{V\chi}{\mu_0}B
$$ |
0.20 |
|
|
2
Итоговая формула:
$$E=-\cfrac{\chi V}{2\mu_0}B^2 $$ |
0.60 |
|
| 3 В выражении для $E$ неверный знак или нет двойки в знаменателе. | 0.30 |
|
|
1
Выражение для магнитной силы:
$$F_m=-\cfrac{\partial E}{\partial r} $$ |
0.10 |
|
|
2
В выражение для $F_m$ подставлен результат $\mathrm B2$:
$$F_m=-\cfrac{\chi_1VB^2_0}{a\mu_0}e^{-2R_0/a} $$ |
0.20 |
|
|
3
Условие отрыва:
$$\rho_1gV\cos\varphi+F_m=\rho_1V\omega^2\left(\cfrac{D}{2}+R_0\right) $$ |
0.20 |
|
| 4 Отрыв в нижней точке | 0.20 |
|
|
5
Формула для $x$:
$$x=-\cfrac{\omega D}{2}\sqrt{\cfrac{2d}{g}} $$ |
0.20 |
|
|
6
Численное значение:
$$x=-22~\text{см} $$ |
0.20 |
|
|
1
Изменение магнитной силы:
$$\Delta\left(\cfrac{F_m}{V}\right)=-2\cfrac{F_m}{V}\cfrac{R_0}{a}\varepsilon $$ |
0.30 |
|
|
2
Изменение центробежной силы:
$$\Delta\left(\cfrac{F_c}{V}\right)=\rho_1\omega^2R_0\varepsilon $$ |
0.20 |
|
| 3 Отрыв все равно в нижней точке | 0.20 |
|
|
4
$$\cfrac{\Delta{x}}{x}=2\varepsilon\cfrac{R_0}{D}
$$ |
0.20 |
|
|
5
Формула для $\Delta_0$:
$$\Delta_0=2R_0+4x\varepsilon\cfrac{R_0}{D} $$ |
0.10 |
|
|
6
Численное значение:
$$\Delta_0=2{,}1~\text{мм} $$ |
0.10 |
|
| 1 Правильно рассмотрено нижнее ограничение на $\omega$, когда частицы второго типа отрываются в неизвестной точке ролика. | 0.30 |
|
| 2 Получено \[ \omega_\text{min} = \left( \frac{2 \Delta}{D} - 1 \right) \sqrt{\frac{g}{2d}}=2\pi \cdot 190 ~ \text{мин}^{-1}\] | 0.20 |
|
| 3 Правильно рассмотрено верхнее ограничение на $\omega$, когда частицы первого типа отрываются в неизвестной точке ролика. | 0.30 |
|
| 4 Правильно учтено время падения частиц первого типа. | 0.10 |
|
|
5
Получено \[\omega_\text{max}=2\pi \cdot 270~\text{мин}^{-1}\] |
0.20 |
|