В этой задаче мы будем исследовать электромагнитные и гравитационные волны. Волны возникают потому, что изменения электромагнитного и гравитационного поля распространяются с ограниченной скоростью, из-за чего наблюдение какого-либо события происходит с некоторой задержкой, т.е. информация об этом событии достигает наблюдателя в виде волны.

При численных расчётах используйте следующие значения:

$\it1)$ скорость света $c=3.00\cdot10^8\ \fracмс$;
$\it2)$ гравитационная постоянная $G=6.67\cdot10^{-11}\ \cfrac{м^3}{кг\cdotс^2}$;
$\it3)$ постоянная Планка $h=6.63\cdot10^{-34}\ Дж\cdotс$;
$\it4)$ масса Солнца $M_\odot=1.99\cdot10^{30}\ кг$;
$\it5)$ $\cfrac{GM_\odot}{c^2}=1.47\cdot10^3\ м$.

Часть A. Электромагнитные волны.

Как известно, электромагнитные волны излучаются заряженными частицами, которые движутся с ускорением (см. рисунок 1).

A1 Объясните, почему электромагнитные волны не могут излучаться зарядами, движущимися с постоянной скоростью.

Теперь рассмотрим излучение электромагнитных волн с точки зрения метода размерностей. Будем считать, что заряд $q$ находящийся в окрестности начала координат и движущийся с небольшой скоростью $(v\ll c)$ и некоторым ускорением $a$, создаёт вдали себя электрическое поле, прямо пропорциональное произведению $qa$, т.е. поле вида:\[E=K_1\frac{qa}{r^n},\]где $r$ -- расстояние до заряда от начала координат (на самом деле $E$ зависит и от угла наблюдения, но это нам сейчас неважно). Ясно, что коэффициент пропорциональности $K_1$ может зависеть только от диэлектрической проницаемости вакуума $\varepsilon_0$ и скорости света $c$, т.е.:\[K_1=A_1\varepsilon_0^mc^l,\]где $A_1\sim1$ – некоторый числовой множитель.

A2 Найдите размерность диэлектрической проницаемости вакуума $[\varepsilon_0]$ в СИ.

A3 Выразите $m$ и $l$ через $n$. Найдите $m$ и $l$ в случае $n=1$.

Оказывается, что электрическое поле, возникающее при ускоренном движении зарядов, пропорционально $r^{-1}$, поэтому убывает медленнее поля неподвижных зарядов, пропорционального $r^{-2}$. Возникающее при этом магнитное поле также пропорционально $r^{-1}$, т.е. магнитная индукция спадает с ростом $r$ по закону:\[B=K_2\frac{qa}{r^{n'}}.\]Здесь $K_2=A_2\varepsilon_0^{m'}c^{l'}$, где $A_2\sim1$ – некоторый числовой множитель.

A4 Выразите $m'$ и $l'$ через $n'$. Найдите $m'$ и $l'$ в случае $n'=1$.

Так как плотность потока энергии электромагнитного поля в вакууме пропорциональна векторному произведению $\left[\vec E\times\vec B\right]$, то полный поток энергии через сферу радиуса $r$ будет стремиться к постоянной величине $(P\to\operatorname{const})$ при $r\to+\infty$, что можно интерпретировать как излучение электромагнитных волн. Такое излучение называют $\itдипольным$.

A5 Выразите мощность дипольного излучения $P$ через $q$ и $\vec a=\cfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}$ с точностью до постоянного множителя.

В действительности этот множитель равен $\cfrac1{6\pi\varepsilon_0c^3}$. Для системы зарядов $\{q_i\}$, расположенных на малом расстоянии друг от друга, величины $q_i\vec a_i$ складываются аддитивно.

Часть B. Гравитационные волны.

Так же, как и заряженные тела, массивные объекты излучают в окружающее пространство волны при движении с ускорением. Такие волны называются гравитационными. Из-за их излучения радиус орбит звёздных систем уменьшается со временем. В этой части задачи мы исследуем эти явления.

Гравитационные волны очень похожи на электромагнитные: они тоже распространяются со скоростью света $c$, также являются поперечными и затухают с расстоянием по тому же закону. Однако между ними всё же есть одно фундаментальное отличие. Поскольку для гравитационных волнах аналогом заряда служит масса, то мощность $\itдипольного$ излучения системы $\{i\}$ из $N$ тел с массами $\{m_i\}$ зависит от величины\[\vec f(t)=\sum_{n=1}^N\vec f_i(t)=\sum_{n=1}^Nm_i\frac{\mathrm d\vec v_i}{\mathrm dt}.\]

B1 Покажите, что для любой $\itзамкнутой$ системы гравитирующих тел\[\vec f(t)\equiv0.\]

Это значит, что дипольного излучения гравитационных волн наблюдаться не может, а возникают они благодаря механизму, отличному от механизма генерации электромагнитных волн. Исследуем этот механизм подробнее. Для простоты будем рассматривать систему из двух звёзд $A$ и $B$ одинаковой массы, вращающихся по круговым орбитам вокруг общего центра масс в плоскости $xy$ на расстоянии $2L$ друг от друга (см. рис. 2). Обозначим угловую скорость вращения звёзд за $\omega$, а угол поворота звезды $A$ относительно оси $x$ – за $\theta$.

B2 Найдите $\vec f_A(t)$ и $\vec f_B(t)$.

В действительности, из-за конечности скорости распространения гравитационного поля, наблюдатель в точке $\vec r$ в момент времени $t$ будет воспринимать событие, произошедшее в точке $\vec r'$ в момент времени\[t'=t-\frac{\left|\vec r-\vec r'\right|}c,\]и тогда в выражении для мощности излучения будут фигурировать уже не $\vec f_i(t)$, а $\vec f_i(t'_i)$, где $t'_i=t-\cfrac{\left|\vec r-\vec r_i\right|}c$. Примем положительное направление оси $y$ за направление на наблюдателя (см. рис. 3).

Обозначим $t'_A=t'$ и $t'_B=t'-\Delta t'$.

B3 Найдите $\Delta t'$.

B4 Найдите первый нетривиальный член разложения $\vec f(t')$ по $\cfrac{\mathrm d^nv_A}{\mathrm dt^n}$. С какой угловой скоростью $\omega_G$ меняется эта величина?

B5 Выразите полную мощность излучения $P_G$ гравитационных волн через $m$, $D\equiv2L$ и $\omega$ с точностью до некоторого постоянного множителя $K_3$.

Ясно, что $K_3$ может зависеть только от гравитационной постоянной $G$ и скорости света $c$, т.е.:\[K_3=A_3G^ac^b,\]где $A_3\sim1$ – некоторый числовой множитель.

B6 Найдите $a$ и $b$.

Рассмотрим две чёрные дыры массами $m=30M_\odot$ каждая, которые вращаются по круговым орбитам вокруг общего центра масс на расстоянии $D_0$ друг от друга. Система излучает гравитационные волны с частотой $\omega_G=300\ \cfrac{рад}с$.

B7 Найдите расстояние $D_0$ между этими чёрными дырами.

B8 Приняв $A_3=1$, найдите выражение для времени $\tau$, за которое эти чёрные дыры упадут друг на друга, и вычислите его.

$\textit{Примечание:}$ Движение чёрных дыр можно всегда с хорошей точностью считать круговым.

Часть C. Детектирование гравитационных волн.

Гравитационные волны можно в некотором смысле считать волнами искажения пространства-времени. Так как гравитационные волны – поперечные, они искажают длину в направлении, перпендикулярном направлению их распространения. Обозначим амплитуду относительного изменения длины за $k$. Вновь пренебрегая неоднородностью углового распределения, можно записать:\[k=K_4\frac{mD^2\omega^{d'}}r,\]где $K_4$ – постоянный множитель. Как и в случае с $K_3$, его можно записать в виде $K_4=A_4G^{a'}c^{b'}$, где $A_4\sim1$ – некоторый числовой множитель.

C1 Найдите $a'$, $b'$ и $d'$.

Для детектирования гравитационных волн используется установка, представленная на рисунке 4. В ней лазерный луч с длиной волны $\lambda$ испускается из точки $A$, делится на две части светоделителем $B$ и $N$ раз проходит туда-обратно вдоль плеч интерферометра $M_1M_2$ и $M_3M_4$ с длиной базы $b$, после чего вновь объединяется в один луч, деструктивно интерферируя в случае отсутствия гравитационных волн.

Предположим, что гравитационная волна движется в направлении $\overrightarrow{M_4M_3}$. Так как гравитационные волны – поперечные, то расстояние $M_1M_2$ при этом меняется в $1+k\sin\omega_Gt$ раз по сравнению с исходным, из-за чего результат интерференции лучей уже не будет тождественно нулевым. Пусть за один период гравитационной волны лазер генерирует в среднем $n$ фотонов, тогда из статистических соображений минимальная регистрируемая разность фаз разделённых лучей $\Delta\phi_\min$ составит\[\Delta\phi_\min\approx\frac1{\sqrt n}.\]Пусть длина волны лазера $\lambda=1\ мкм$, длина базы интерферометра $b=3\ км$, а $N=100$; амплитуда гравитационной волны $k=10^{-21}$, её частота $\nu_G=100\ Гц$.

C2 При какой минимальной мощности лазера $P_\mathrm{laser}$ интерферометр сможет зафиксировать гравитационную волну?