В этой задаче рассмотрим движение двух металлических стержней, скользящих по рельсам в магнитное поле.

Как показано на рисунке 1, два металлических стержня могут без трения скользить по двум параллельным горизонтальным рельсам. Стержни всё время перпендикулярны рельсам и сохраняют с ними хороший контакт. Масса, длина и сопротивление каждого из них равны $m$, $a$ и $R\ne0$ соответственно, а сопротивлением рельсов можно пренебречь. Изначально стержни неподвижны, и расстояние между ними равно $l$. Считайте, что индуктивностью системы стрежни–рельсы можно пренебречь.

Изначально магнитное поле отсутствует, но в момент времени $t=0$ оно начинает резко линейно возрастать, достигая значения $B_0$ за $\Delta t$, которое достаточно мало, чтобы можно было при этом пренебречь смещением стержней.

A1 Найдите ток $I$, который протекал через стержни в интервале увеличения магнитного поля.

На стержни, по которым протекает ток, в магнитном поле действует сила. Рассмотрите случаи, когда магнитное поле направлено вертикально вверх (как на рисунке 1) и вниз.

A2 Стремится ли сила, действующая на стержни в каждом из этих двух случаев, уменьшить или увеличить расстояние между ними? Почему ответ не зависит от направления магнитного поля?

A3 Найдите, какой импульс $\Delta p$ был передан каждому из стержней за время $\Delta t$.

После $t=\Delta t$ стержни начинают двигаться симметрично.

A4 С какой скоростью $v_0$ движутся стержни в момент времени $t=\Delta t$?

После $t=\Delta t$ величина и направление магнитного поля поддерживаются постоянными. Пусть в некоторый момент времени скорость стержней равна $v$.

A5 Найдите силу тока $I$, протекающего в этот момент через стержни, и силу $F$, действующую на каждый из них со стороны магнитного поля.

Поскольку стержни обладают ненулевым сопротивлением, то при протекании через них тока выделяется тепловая энергия. Как следствие, кинетическая энергия стержней уменьшается, поэтому они останавливаются по прошествии некоторого времени.

A6 Запишите уравнение движения стержня.

A7 Найдите расстояние $l'$ между стержнями, когда они придут в состояние покоя.

A8 Найдите суммарную тепловую энергию $Q$, выделившуюся на металлических стержнях за время движения. Выразите ответ через $a$, $l$, $m$, $R$ и $B_0$.

A9 В пункте $\bf A1$ предполагалось, что $B(t)$ увеличивается линейно в интервале $t\in[0,\Delta t]$, однако оказывается, что стержни приобретут ту же скорость $v_0$ к моменту $\Delta t$, даже если $B(t)$ растёт от $0$ до $B_0$ по другому закону. Объясните явление.