На высоте от $500$ до $40\,000\ км$ над поверхностью Земли на орбите находится т.н. $\itкосмический$ $\itмусор$ (к примеру, остатки ракетных модулей). Космического мусора очень много — по некоторым оценкам, около $20\,000$ объектов размером более $20\ см$ и около $500\,000$ объектов размером от $1$ до $10\ см$. Распределение мусора на орбите представлено на рисунке 1. Скорость каждого из объектов обычно лежит в пределах от $3$ до $8\ \cfrac{км}с$, а иногда может достигать и $\ge10\ \cfrac{км}с$. Столкновение искусственного спутника с такими объектами приведёт к полному разрушению первого, поэтому перед людьми стоит острая задача по очистке орбиты от космического мусора. Предполагается два варианта избавления от него: занижение орбиты до падения мусора на Землю и вывод мусора за пределы области тяготения Земли.

В этой задаче мы исследуем, какой из способов оказывается более предпочтительным. При решении Землю считайте сферически симметричным телом радиуса $R_E=6.4\cdot10^3\ км$, ускорение свободного падения на поверхности которого $g=9.8\ \cfracм{с^2}$.

Часть A. Движение в гравитационном поле.

Типичная орбита космического мусора представлена ниже на рисунке 2 и представляет собой эллипс с большой полуосью $R$ и фокальным расстоянием $a$, один из фокусов которого совпадает с началом координат. Как известно, для любой точки эллипса сумма расстояний $r$ и $r'$ до каждого из фокусов является постоянной величиной:\[r+r'=2R.\]

A1 Найдите уравнение эллипса в полярных координатах $(r,\theta)$, введённых, как показано на рисунке 2.

A2 Запишите уравнения движения мусора в координатах $(x,y)$, введённых, как показано на рисунке 2.

Кинетическая энергия $K$ мусора массой $m$ равна\[K=\frac m2\left[\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2+\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\right)^2\right].\]

A3 Пользуясь результатом предыдущего пункта, найдите выражение для $\cfrac{\mathrm dK}{\mathrm dt}$.

A4 Выведите отсюда выражение для потенциальной энергии $U$ в гравитационном поле (считайте, что $U\to0$ при $r\to+\infty$).

Докажем теперь второй закон Кеплера. Введём величину $\dot S$ как площадь, которую "заметает" радиус-вектор мусора в единицу времени. Тогда (см. рис. 3) в координатах $(r,\theta)$ можем записать:\[\dot S=\frac{r^2}2\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}.\]

A5 Выразите $\dot S$ через $x$, $y$ и их производные по времени.

A6 С помощью уравнений движения мусора покажите, что $\dot S$ является постоянной величиной, т.е.\[\frac{\mathrm d\dot S}{\mathrm dt}=0.\]

A7 Выразите кинетическую энергию мусора $K$ через $m$, $\dot S$, $r$ и $\dot r$.

A8 Выразите большую полуось $R$ и фокальное расстояние $a$ через $m$, $g$, $R_E$, $\dot S$ и полную механическую энергию мусора $W\equiv K+U$.

A9 Выразите расстояние $d$ от поверхности Земли до перигея $Q'$ орбиты мусора через $m$, $g$, $R_E$, $\dot S$ и $W$.

Часть B. Утилизация космического мусора.

Поскольку в апогее скорость космического мусора наименьшая, то от мусора можно избавиться, придав ему в этой точке дополнительный импульс. В этой части задачи мы рассмотрим, какими способами это можно сделать.

Для простоты орбиту мусора будем считать круговой с радиусом $R_0$.

B1 Выразите полную энергию $W_0$, величину $\dot S$ и скорость $v_0$ мусора на орбите через $m$, $g$, $R_0$ и $R_E$.

Рассмотрим сначала способ торможения мусора с его дальнейшим входом в земную атмосферу, как показано на рисунке 4. Когда мусор находится в точке $Q$, ему придают импульс $\Delta p$ против направления движения. Результирующая орбита будет иметь большую полуось $R$ и фокальное расстояние $a$, и в её перигее $Q'$ мусор входит в атмосферу, которая начинается на высоте $h$ над поверхностью Земли.

B2 Выразите $\left(\dot S\right)^2$ через $R$, $a$, $g$ и $R_E$.

B3 Найдите, какой минимальный импульс $\Delta p$ нужно передать мусору, чтобы тот вошёл в атмосферу.

Пусть масса мусора $m=1.0\ кг$, радиус его орбиты $R_0=7.0\cdot10^3\ км$, а высота верхней границы атмосферы $h=1.0\cdot10^2\ км$.

B4 Найдите, какой минимальный импульс $\Delta p$ нужно придать мусору для достижения атмосферы и его скорость $v_\mathrm{after}$ сразу после передачи импульса.

Рассмотрим теперь случай разгона космического мусора с его дальнейшим уходом на бесконечность. Когда мусор находится в точке $Q$, ему также придают некоторый импульс, в результате чего его полная механическая энергия становится равной нулю, т.е. мусор улетает по параболе за пределы области тяготения Земли, как показано на рисунке 5. Скорость мусора сразу после передачи импульса обозначим $v_1$.

B5 Найдите $\cfrac{v_1}{v_0}$.

Круговая орбита, период обращения на которой равен одним суткам, называется $\itгеостационарной$.

B6 Найдите радиус $R_0$ геостационарной орбиты.

B7 Какой импульс $\Delta p'$ нужно придать мусору массой $m=1.0\ кг$ на стационарной орбите, чтобы он улетел на бесконечность?

B8 При каких значениях радиуса $R_0$ орбиты мусора будет целесообразным первый способ, а при каких — второй?