Часть A. Про японское (и не только) отопление.

Около половины энергопотребления Японии приходится на потребительские нужды, и порядка 60% всей этой энергии используется для отопления и кондиционирования помещений, из-за чего остро стоит вопрос эффективности тепловых систем, что мы и будем исследовать в этой части задачи на примере $\itтеплового$ $\itнасоса$, работающего между помещением и внешней средой.

Обозначим температуру холодильника $T_L$, температуру нагревателя $T_H$, а работу, теплоту холодильника и теплоту нагревателя в рабочем цикле теплового насоса $W$, $Q_L$ и $Q_H$ соответственно. Введём $\itхолодильный$ $\itкоэффициент$ $\varepsilon_r$ как:\[\varepsilon_r=\frac{Q_L}W,\]а за $\eta_r$ обозначим холодильный коэффициент насоса, работающего по обратному циклу Карно, т.е. по циклу, состоящему из двух изотерм и двух адиабат.

A1 Выразите $\eta_r$ через температуры холодильника $T_L$ и нагревателя $T_H$.

Оказывается, что холодильный коэффициент тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно, является максимально возможным при данных температурах холодильника и нагревателя, т.е. $\varepsilon_r < \eta_r$. Это значение фактически недостижимо при работе реальных машин из-за трения, теплообмена и т.д.

A2 Найдите теоретический верхний предел $\eta_r$ холодильного коэффициента при температуре внешней среды $35.0\ {}^\circ\mathrm C$ и температуре в помещении $25.0\ {}^\circ\mathrm C$. Какая минимальная мощность $P$ необходима для отвода из помещения $1000\ Вт$ тепловой мощности? Как изменится $\eta_r$, если температура помещения повысится до $28.0\ {}^\circ\mathrm C$?

Далее будем считать, что помещение играет роль нагревателя, а внешняя среда — роль холодильника. Эффективность обогрева определяет в таком случае $\itтепловой$ $\itкоэффициент$ $\varepsilon_h=\cfrac{Q_H}W$. Максимальная эффективность обогрева достигается при работе насоса по обратному циклу Карно, для которого тепловой коэффициент равен $\eta_h$.

A3 Покажите, что $\eta_h=\eta_r+1$ и $\varepsilon_h=\varepsilon_r+1$. Выразите $\eta_h$ через температуры холодильника $T_L$ и нагревателя $T_H$.

Пусть температура внешней среды равна $5.0\ {}^\circ\mathrm C$, а температура в помещении $25.0\ {}^\circ\mathrm C$. Тепловой насос забирает извне тепловую мощность $1000\ Вт$.

A4 Какую минимальную мощность $P$ потребляет этот тепловой насос? Какая тепловая мощность поступает при этом в помещение?

A5 Объясните, почему при тех же температурах холодильника и нагревателя охлаждение летом требует больших затрат электроэнергии, чем отопление зимой.

Так как тепловой насос способен отнимать тепло у холодильника, его чисто теоретически можно использовать для охлаждения тел. Исследуем эффективность работы теплового насоса при низких температурах холодильника.

A6 Найдите $\eta_r$, когда температура холодильника $T_L=10\ К$, а температура нагревателя $T_H=300\ К$. Какая мощность $P$ нужна для отвода $1000\ Вт$ от холодильника?

A7 К чему стремится $\eta_r$ при $T_L\to0$?

Часть B. Про энтропию.

Введём $\itэнтропию\ S$ — величину, малое изменение $\Delta S$ которой в произвольном процессе равно\[\Delta S=\frac{\Delta Q}T,\]где $\Delta Q$ — количество теплоты, переданное телу, а $T$ — его температура. Оказывается, что энтропия — это $\itфункция$ $\itсостояния$, т.е. однозначно зависит от состояния тела и не зависит от того, как тело в это состояние пришло. Как утверждает второе начало термодинамики, в замкнутой системе в любом процессе энтропия не может уменьшаться, т.е. $\Delta S\ge0$.

В этой части задачи мы рассмотрим с точки зрения энтропии два примера необратимых процессов — передачу тепла от горячего тела к холодному и смешение газов. При решении считайте известным, что энтропия является аддитивной величиной.

Пусть два тела с температурами $T_H$ и $T_L\ (T_H > T_L)$ ненадолго приводят в контакт, и они обмениваются теплотой $Q$. Теплоёмкости тел считайте достаточно большими.

B1 Выразите изменение $\Delta S$ суммарной энтропии этих тел через $T_H$, $T_L$ и $Q$. Покажите, что $\Delta S > 0$. Найдите $\Delta S$ численно при $T_L=273\ К$, $T_H=300\ К$ и $Q=100\ Дж$.

Рассмотрим $n\ моль$ идеального газа с теплоёмкостью $C_V$ при постоянном объёме. Пусть температура газа квазистатически меняется от $T_0$ до $T$ при постоянном объёме.

B2 Найдите изменение энтропии $S(T,V_0)-S(T_0,V_0)$.

B3 Пусть теперь температура того же газа поддерживается постоянной и равной $T_0$, а объём квазистатически меняется от $V_0$ к $V$. Найдите изменение энтропии $S(T_0,V)-S(T_0,V_0)$.

В идеальном газе молекулы не взаимодействуют друг с другом, поэтому в смеси идеальных газов каждый компонент ведёт себя независимо от других. Найдём изменение энтропии при смешении двух газов. Энтропии газов $A$ и $B$ (см. рисунок) обозначим $S_A$ и $S_B$ соответственно.

B4 Найдите изменение $\Delta S_A$ энтропии газа $A$ в результате квазистатического изменения объёма от $V_A$ до $V_A+V_B$. Найдите изменение $\Delta S_B$ энтропии газа $B$ в результате квазистатического изменения объёма от $V_B$ до $V_A+V_B$.

B5 Найдите изменение энтропии $\Delta S$ смеси газов. Выразите ответ через количество вещества газов $n_A$ и $n_B$ соответственно. Покажите, что $\Delta S > 0$. Вычислите $\Delta S$ при $n_A=n_B=1.0\ моль$.