Явление, при котором изменение состояния в одной точке пространства передаётся в другую точку с некоторой скоростью, называется волной. В окружающем нас мире можно найти множество примеров волн, как то акустические волны или волны на воде. Если направление движения среды и направление распространения волны перпендикулярны друг другу, то такая волна называется поперечной, если же параллельны – продольной. Например, звук представляет собой продольную волну, а свет – поперечную. Существуют и волны, в которых одновременно происходят как продольные, так и поперечные движения, например, волны на поверхности воды, исследованию которых и посвящена эта задача.

Часть A. Береговые волны и движение по течению.

В этой части задачи рассмотрим поведение морских волн у береговой линии и при подъёме по течению рек.

Как показано на рисунке 1, при подходе к береговой линии волновые фронты постепенно становятся ей параллельны. В самой простой модели скорость волны определяется выражением $v=\sqrt{gh}$, где $h$ – глубина воды, а $g$ – ускорение свободного падения.

Рассмотрим падение синусоидальной волны на ступенчатый профиль глубины, показанный на рисунке 2. Глубина воды слева равна $h_1$, справа – $h_0$.

A1 Запишите соотношение между углами падения $\theta_0$ и преломления $\theta_1$ волны. Ответ выразите через $h_0$ и $h_1$.

A2 Объясните, почему при приближении к берегу волновые фронты становятся параллельными береговой линии.

Несложно показать, что средняя энергия волны, приходящаяся на единицу площади поверхности, выражается в виде:\[T=\cfrac12\rho ga^2,\tag1\]где $\rho$ – плотность воды, а $a$ – амплитуда волны. Кроме того, отсюда следует, что поток энергии на единицу ширины волны будет равен $E=vT$.

Исследуем, как меняется амплитуда волн при медленном изменении ширины и глубины водоёма. Обозначим начальные и конечные значения амплитуды, ширины и глубины $a_0$, $B_0$, $h_0$ и $a$, $B$, $h$ соответственно, как показано на рисунке 3. Тогда для них выполняется $\itзакон$ $\itГрина$:\[\frac a{a_0}=\left(\frac{h_0}h\right)^\cfrac14\left(\frac{B_0}B\right)^\cfrac12.\]

A3 Докажите закон Грина, пользуясь постоянством потока энергии и плотности воды $\rho$.

Морские приливы вызывают колебания в устьях реки, которые потом в виде волн распространяются вверх по течению на большие расстояния. К примеру, такие волны наблюдались на Амазонке и Янцзы более чем на $800\ км$ вверх по течению. Пусть начальная амплитуда волны равна $1.0\ м$ при ширине реки $2.0\ км$ и глубине $10\ м$.

A4 Найдите амплитуду волны $A$, когда ширина реки станет равна $1.0\ км$, а глубина – $5\ м$.

В этой части предполагалось, что даже если длина волны велика по сравнению с глубиной $h$, то скорость волны всё равно определяется выражением $\sqrt{gh}$, и волна остаётся синусоидальной в процессе распространения. Однако в действительности по мере своего распространения крупные волны образуют гребни, поскольку заметным становятся нелинейные амплитудные эффекты, ответственные за искажение формы волн.

Часть B. Изменение формы волн.

Рассмотрим теперь $\itмеловодную$ волну, т.е. такую, что её длина волны больше глубины воды $h$. Для синусоидальной мелководной волны можем записать:\[\begin{cases}u=v\cfrac ah\sin\left(kx-\omega t\right)\\\Delta h=a\sin\left(kx-\omega t\right)\end{cases}\]где $u$ – скорость движения воды вдоль оси $X$, $\Delta h$ – изменение уровня воды, $a$ и $\omega$ – амплитуда и угловая частота колебаний, а $k=\frac{2\pi}\lambda$, где $\lambda$ – длина волны. Будем считать, что амплитуда мала $(a\ll h)$, а плотность воды постоянна $(\rho=\operatorname{const})$.

Рассматриваемая волна движется по оси $x$ со скоростью $v=\omega k$. Неподвижную систему отсчёта обозначим $S$, а систему отсчёта, движущуюся вправо со скоростью $v$, обозначим $S'$. Тогда в этой системе отсчёта уравнения мелководной волны перейдут в:\[\begin{cases}u'=v\cfrac ah\sin kX-v\\h'=h+a\sin kX\end{cases}\]что показано на рисунке 4.

Покажем, во-первых, что уравнение $(1)$, использованное при выводе закона Грина, можно получить из уравнений мелководной волны.

B1 Покажите, что среднюю энергию волны на единицу поверхности можно записать в виде $(1)$.

Перейдём в систему отсчёта $S'$. Рассмотрим теперь вертикальную плоскость, обозначенную штриховой линией на рисунке 4. Ширину волны в направлении, перпендикулярном картинной плоскости, обозначим $L$. Пусть $F(X)$ – масса воды, протекающая через эту площадь по оси $X$ в единицу времени.

B2 Найдите $F(X)$ из уравнений мелководной волны.

B3 Покажите, что профиль волны не меняется со временем, если $F(X)$ рассматривать с точностью до первого порядка малости по $a$.

Если учитывать второй порядок малости по $a$, $F(X)$ будет зависеть от $X$.

B4 Опишите качественно, как это влияет на профиль волны с течением времени.

Часть C. Приливная волна.

Приливная волна – это волна ступенчатой формы, вызванная изменением уровня моря во время приливов и распространяющая вверх по течению. Приливные волны могут достигать высоты до 3 метров! В этой части задачи мы рассмотрим движение таких волн.

Пусть, как показано на рисунке 5, волна движется вверх по течению с постоянной скоростью $c$, а глубина и скорость воды сзади и спереди от волны равны соответственно $h_1$, $u_1$ и $h_2$, $u_2$. Будем считать, что $c > u_2$, а форма волны остаётся с течением времени неизменной. Пересядем в систему отсчёта, движущуюся со скоростью волны $c$.

C1 Запишите закон сохранения импульса для точек $X_1$ и $X_2$ (см. рис. 6).

C2 Запишите закон сохранения энергии для точек $X_1$ и $X_2$.

C3 Используя результаты пунктов $\bf C1$ и $\bf C2$, найдите скорость приливной волны $c$. Ответ выразите через глубины $h_1$ и $h_2$, ускорение свободного падения $g$ и скорость воды $u_2$ спереди от волны.

Рассмотрим случай движения волны против течения реки. Пусть $u_2=-U\ (U > 0)$, высоту волны обозначим $H=h_1-h_2\ (H > 0)$.

C4 Выразите $H$ через $c$, $U$, $g$ и $h_2$. Найдите значение $c_2$ такое, что $H=0$. Покажите, что при постоянном $h_2$ высота волны $H$ является монотонно возрастающей функцией по переменной $c-c_2$.