Сосуды, пронизывающие тело человека и питающие органы и ткани кислородом и питательными веществами, образуют так называемую кровеносную систему. Кровеносная система человека представляет интерес не только с медицинской, но и с чисто физической точки зрения. Её исследованием мы и займёмся в этой задаче.

Часть A. Движение по сосудам

Сначала кровь под давлением поступает в левый желудочек сердца, откуда перекачивается в аорту, а от неё идёт по разветвляющейся системе артерий, переходящих затем в капилляры. После прохождения капилляров кровь собирается в вены и возвращается обратно в сердце через большую полую вену.

Рассмотрим сначала, как кровь протекает по сосудам. Пусть между концами сосуда создаётся разность давлений $\Delta p$, тогда объёмный расход $J$ через этот сосуд будет в первом приближении пропорционален разности давлений, т.е.:\[J=\frac{\Delta p}R,\]где $R$ называется сопротивлением потоку и возникает преимущественно из-за вязкости жидкости. Ясно, что чем больше толщина сосуда, тем меньше будет сопротивление потоку, поэтому при рассмотрении кровеносной системы в дальнейшем будем считать сопротивление потоку ненулевым лишь для мелких и разветвлённых сосудов – капилляров.

При решении этой части задачи можете использовать следующие численные значения:
$\it1)$ объёмный поток крови через аорту $J_0=5\ \cfracл{мин}$;
$\it2)$ средняя создаваемая сердцем разность давлений в кровеносной системе $\Delta p=159\ гПа$;
$\it3)$ частота сердечных сокращений $T^{-1}=60\ мин^{-1}$;
$\it4)$ плотность крови $\rho=1.06\cdot10^3\ \cfrac{кг}{м^3}$.
Все ответы приводите в единицах СИ.

A1 Найдите среднюю скорость $v_0$ крови в аорте, если её диаметр равен $d=3.0\ см$.

Будем для простоты считать, что кровеносная система между аортой и большой полой веной представляет собой $5\cdot10^9$ капилляров диаметром $8\ мкм$, как показано на рисунке $\it1$. Скорость движения крови по капиллярам обозначим $v'$.

A2 Найдите $\cfrac{v'}{v_0}$.

На рисунке $\it2(a)$ показана дуга аорты – часть аорты, непосредственно соединяющаяся с сердцем. Движение крови в ней подобно движению в $U$-образной трубке (рис. $\it2(b)$), разворачивающейся на $180^\circ$, на изогнутый участок которой со стороны жидкости действует сила.

A3 Найдите поток импульса крови $J_P$, текущей через аорту.

A4 Найдите силу $F$, действующую на изогнутый участок аорты со стороны текущей крови.

Часть B. Сердце и сосуды

Включим теперь в рассмотрение сердце. Систему из сердца и кровеносных сосудов для простоты можно смоделировать системой, показанной на рисунке $\it3$. Жидкость подаётся в систему под действием поршня 1 под постоянным давлением $p_1$. Поршень 2 перемещается так, чтобы давление жидкости в его цилиндре было постоянно и равно $p_2\ (p_2 < p_1)$, и жидкость перетекает в цилиндр второго поршня по трубе $AD$ с ненулевым сопротивлением потоку. В тот момент, когда объём жидкости в цилиндре поршня 1 достигает минимума, давление в нём падает до величины, совсем немного меньшей $p_2$, и жидкость возвращается в цилиндр 1 по верхней трубе с околонулевым сопротивлением потоку, пока система не возвращается в исходное состояние. Эта модель описывает один цикл колебаний сердца.

B1 Найдите давления $p_B$ и $p_C$ в точках $B$ и $C$, находящихся на высоте $h$ ниже уровня $AD$. Ответы выразите через плотность жидкости $\rho$, ускорение свободного падения $g$, $h$ и давления $p_1$ и $p_2$. Считайте течение жидкости в трубе $AD$ стационарным.

Давление и объём жидкости в цилиндре поршня 1 соответствует давлению и объёму в левом желудочке сердца. На рисунке $\it4$ процесс, происходящий в левом желудочке, показан на $p-V$-диграмме.

B2 Какому участку на $p-V$-диаграмме соответствует процесс, когда левый желудочек сокращается и перекачивает кровь в аорту? Укажите направление протекания этого процесса.

B3 Выразите мощность сердца $\mathcal P$ через период сердцебиения $T$ и переменные, показанные на рисунке $\it4$.

B4 Выразите сопротивление потоку $R$ всей кровеносной системы через период сердцебиения $T$ и переменные, показанные на рисунке $\it4$.

Часть C. Сужение сосудов

Иногда к стенкам сосудов могут прикрепляться инородные тела, а вызванное этим увеличение сопротивления потоку чревато развитием серьёзных сердечно-сосудистых заболеваний. Эффективным методом лечения сужения является внедрение обходного сосуда параллельно суженному кровеносному. Известно, что по закону Пуазёйля сопротивление потоку у трубки радиуса $a$ обратно пропорционально $a^4$. Предполагается, что во всех трёх случаях, показанных на рисунке $\it5$, разность давлений между концами сосуда одинакова и равна $\Delta p$.

C1 Найдите сопротивление потоку $R_a$ для трубки, показанной на рисунке $\it5(a)$.

C2 Найдите отношение $\cfrac{R_1}{R_0}$ (см. рис. $\it5(b)$), если радиус суженного сосуда $a_1=\cfrac{a_0}2$ в два раза меньше радиуса обыкновенного $a_0$. Найдите отношение $\cfrac{J_b}{J_a}$ объёмного расхода жидкости, протекающей по трубкам в случаях $\it(a)$ и $\it(b)$.

C3 Какую часть $\cfrac{a_2}{a_0}$ должен составлять радиус обходного сосуда от радиуса исходного, чтобы объёмный расход жидкости, протекающей по трубкам в случаях $\it(a)$ и $\it(c)$, был одинаков? Приведите ответ с точностью до двух значащих цифр.

Часть D. Эластичность сердца.

В этой части задачи мы исследуем подробнее вопрос эластичности сердца. В результате сокращения мышечных волокон, в тканях сердца возникает напряжение, влияние которого эффективно схоже с наличием у тканей поверхностного натяжения $\alpha$. В качестве модели сердца рассмотрим сферу радиуса $r$, давление внутри которой на $\Delta p$ больше давления снаружи. Форма и размер сферы остаются постоянными под действием эффективного поверхностного натяжения, возникающего при сокращении мышечных волокон.

D1 Выразите через $\alpha$ силу $F$, с которой две половинки сферы притягивают друг друга (см. рис. $\it6(a)$).

D2 Выразите через $\Delta p$ силу давления $F$, действующую на каждую из половинок сферы из-за разности давлений внутри и снаружи. Отсюда найдите связь между $\Delta p$ и $\alpha$.

Одной из причин развития сердечной недостаточности может быть увеличение размера левого желудочка, перекачивающего кровь в аорту. Так как левый желудочек можно описать рассмотренной выше моделью, для поддержания той же разности давлений в кровеносной системе сердечным мышцам нужно прикладывать больше усилий. Например, пусть размер левого желудочка увеличился на $20\,\text%$.

D3 Найдите, насколько должно возрасти эффективное поверхностное натяжение тканей сердца, $\cfrac{\Delta\alpha}\alpha$.

D4 Учитывая, что в больном сердце столько же мышечных волокон, сколько и в здоровом, найдите, насколько должна увеличиться сила сокращений отдельных волокон, $\cfrac{\Delta F}F$.