Большая часть массы атома сосредоточена в очень малой области в его центре, называемой ядром. Ядра состоят из двух типов частиц — протонов и нейтронов, имеющих практически одинаковую массу. Количество нуклонов в ядре называется его массовым числом $A$, а количество протонов — атомным номером $Z$. Ядро можно приближённо считать сферой радиусом\[R=kA^\frac13,\]где $k=1.2\cdot10^{-15}\ м$. Оказывается, что масса ядра $M$ всегда меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Эта разность называется $\itдефектом$ $\itмассы$ и равна\[\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-M,\]где $m_p$ и $m_n$ — массы протона и нейтрона соответственно. Дефект массы можно интерпретировать как $\Delta m=\cfrac{\Delta E}{c^2}$, где $\Delta E$ — энергия связи ядра. В этой задаче мы исследуем, от чего может зависеть удельная энергия связи $\cfrac{\Delta E}A$ и какие свойства ядер эта величина определяет. Рассмотрим сначала те слагаемые в $\Delta E$, которые зависят только от массового числа $A$:\[\Delta E=k_1A+k_2A^n,\tag1\]где $k_1\ (>0)$ и $k_2\ (<0)$ — некоторые константы. Первое слагаемое отвечает за взаимодействие между нуклонами внутри ядра, а второе ведёт себя подобно поверхностному натяжению и потому пропорционально площади поверхности ядра.

A1 Найдите $n$.

Пусть численные значения $k_1=15.67\ МэВ$, $k_2=-17.23\ МэВ$.

A2 Для массовых чисел $A=20,60,90,145,235$ найдите удельную энергию $\cfrac{\Delta E}A$ на один нуклон из уравнения $(1)$ и постройте график этой величины в зависимости от $A$.

Учтём теперь, что между протонами действует сила кулоновского отталкивания. Тогда в формулу для энергии связи можно добавить поправочный член:\[\Delta E=k_1A+k_2A^n+k_3Z^2A^m,\]где $k_3\ (<0)$ — некоторая константа.

A3 Найдите $m$.

Оказывается, что на энергию связи влияет также соотношение количества протонов и нейтронов в ядре. Из того, что среди ядер с $A < 20$ устойчивыми являются ядра, в которых количества нейтронов и протонов примерно равны, можно заключить, что в уравнение для энергии связи нужно добавить ещё один поправочный член:\[\Delta E=k_1A+k_2A^n+k_3Z^2A^m+k_4\frac{(A-2Z)^2}A,\tag2\]где $k_4\ (<0)$ — некоторая константа. Реальная природа появления этого слагаемого может быть объяснена только с точки зрения квантовой механики.

Ядра с одинаковым массовым числом, но разным протон-нейтронным составом, называются изобарами. $\Delta E$ является квадратичной функцией $Z$, и ядро с $Z$, при котором $\Delta E$ имеет максимальное значение, является наиболее устойчивым среди своих изобар. Пусть численные значения $k_3=-0.714\ МэВ$ и $k_4=-23.29\ МэВ$. Тогда, к примеру, при массовом числе $A=101$ будем иметь $\Delta E=-1143+93.16Z-1.076Z^2\ (МэВ)$.

A4 Найдите $Z$, соответствующее наиболее стабильному нуклиду с $A=101$.

Оказывается, что ядро с $A=101$ и $Z$, на единицу меньшим найденного в предыдущем пункте, является нестабильным и путём $\beta$-распада превращается в устойчивое.

A5 Какая энергия $E_1$ выделяется при этом распаде?

В таблице ниже приведены значения $A$ и $Z$ для нескольких наиболее устойчивых элементов.

$Элемент$;$A$;$Z$;$\cfrac{\Delta E}A,\ МэВ$ $\rm F$;$20$;$9$; $\rm Co$;$60$;$27$; $\rm Y$;$90$;$39$; $\rm Nd$;$145$;$60$; $\rm Pa$;$235$;$91$;

A6 Для каждого из них найдите удельную энергию $\cfrac{\Delta E}A$ на один нуклон по уравнению $(2)$ и постройте график этой величины в зависимости от $A$.

Расщепление ядра — это явление, при котором большое ядро делится на более мелкие. Пусть ядро с $Z=91$ и $A=235$ распадается на два ядра с $A=90$ и $A=145$, которые затем превращаются в стабильные посредством каскадного $\beta$-распада.

A7 Найдите энергию $E_2$, которая выделяется в результате такого распада.