Для решения задачи вам потребуется обобщение МНК на случай произвольной, не обязательно линейной, зависимости. Пусть в качестве экспериментальной зависимости задан набор точек $(x_i, y_i)$, который мы хотим промоделировать некоторой функцией $f=f(x, a_1, a_2, \dots)$, где $a_1, a_2, \dots$ — параметры, которые можно варьировать. По определению метода наименьших квадратов вариация параметров должна привести к тому, что следующая сумма должна быть минимальной:$$ S = \sum_i~\Delta y_i^2 = \sum_i~\left(y_i-f(x_i, a_1, a_2, \dots)\right)^2 \rightarrow \min_{a_1, a_2, \dots} $$Задача минимизации этой суммы сводится к решению системы уравнений:\[ \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial a_1}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial a_2}=0\\ \dots \end{cases} \]где символ $\partial$ обозначает дифференцирование по параметру, указанному в знаменателе, когда остальные параметры зафиксированы.
В таблице в листе ответов вам даны значения разности температур $\Delta T$ в зависимости от толщины образца $d$ для трёх разных значений температуры $T_0$ и двух различных материалов — сульфидов молибдена $\rm(MoS_2)$ и вольфрама $\rm(WS_2)$.
В идеальном эксперименте разность температур $\Delta T$ можно было бы описать формулой:\begin{equation}\Delta T=Ad,\tag1\end{equation}где $A=\cfrac{4Q}{\pi\varkappa_\perp D^2}$, а $\varkappa_\perp$ — коэффициент теплопроводности в направлении, перпендикулярном слоям. Однако теплообмен между двумя пластинами происходит не только за счёт теплопроводности, но и за счёт других способов теплопередачи. Их можно с хорошей точностью учесть, добавив в уравнение $(1)$ поправочный член:\begin{equation}\Delta T=Ad-BT_0^{1/2}d^{3/2}.\tag2\end{equation}
Будем считать, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ не зависит от температуры, если выполнено соотношение:\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2},\]где $\Delta A$ — максимальная разность значений $A$, полученных в предыдущем пункте, а $\overline B$ — среднее арифметическое полученных в предыдущем пункте значений $B$, $d_\max=200\ мкм$, $T_{0\max}=373\ К$.
Таким образом, нам будут интересны два асимптотических случая:
$\it1)$ случай большой толщины образца $d$. При этом вклад теплопроводности внутри образца будет доминирующим, и изменение температуры можно описать уравнением:\begin{equation}\Delta T=\frac Ad-\frac B{d^2},\tag3\end{equation}где $A=\cfrac{A_0}{\varkappa_\parallel}$, $A_0=9.43\ мВт$ и $B$ — некоторые постоянные;
$\it2)$ случай малой толщины образца $d$. При этом доминирующим будет вклад теплопроводности и излучения между образцом и окружающей средой, и изменение температуры можно описать уравнением:\begin{equation}\Delta T=\Delta T_{\max}-Cd,\tag4\end{equation}где $C$ — некоторый коэффициент.
В таблице в листе ответов вам даны значения разности температуры $\Delta T$ в зависимости от толщины образца $d$ для трёх разных значений температуры $T_0$ и двух различных материалов — сульфидов молибдена $\rm(MoS_2)$ и вольфрама $\rm(WS_2)$. При решении задачи считайте, что половина точек с бóльшим $d$ соответствует случаю $\it1)$, а другая половина — случаю $\it2)$.
Рассмотрим сначала случай $\it1)$.
В этот раз значения $\varkappa_\parallel$ явно зависят от температуры. Можно предположить, что они удовлетворяют степенной зависимости $\varkappa_\parallel\propto\cfrac1{T_0^n}$.
Рассмотрим теперь случай $\it2)$.
Для того, чтобы в будущем улучшить условия проведения эксперимента, учёные хотят узнать, из-за чего в первую очередь теплота передаётся от образца окружающей среде — из-за теплопроводности или излучения. Для этого как раз можно использовать полученные значения $\Delta T_{\max}$. Можно показать, что если доминирующий вклад вносит теплопроводность, то $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{\sqrt{T_0}}$, а если излучение, то $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{T_0^3}$. Попробуем приблизить $\Delta T_{\max}$ степенной зависимостью $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{T_0^m}$.