О методе наименьших квадратов.

Для решения задачи вам потребуется обобщение МНК на случай произвольной, не обязательно линейной, зависимости. Пусть в качестве экспериментальной зависимости задан набор точек $(x_i, y_i)$, который мы хотим промоделировать некоторой функцией $f=f(x, a_1, a_2, \dots)$, где $a_1, a_2, \dots$ – параметры, которые можно варьировать. По определению метода наименьших квадратов вариация параметров должна привести к тому, что следующая сумма должна быть минимальной:$$ S = \sum_i~\Delta y_i^2 = \sum_i~\left(y_i-f(x_i, a_1, a_2, \dots)\right)^2 \rightarrow \min_{a_1, a_2, \dots} $$Задача минимизации этой суммы сводится к решению системы уравнений:\[ \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial a_1}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial a_2}=0\\ \dots \end{cases} \]где символ $\partial$ обозначает дифференцирование по параметру, указанному в знаменателе, когда остальные параметры зафиксированы.

Часть A. Поперечная теплопроводность (4.0 балла).

В таблице в листе ответов вам даны значения разности температур $\Delta T$ в зависимости от толщины образца $d$ для трёх разных значений температуры $T_0$ и двух различных материалов – сульфидов молибдена $\rm(MoS_2)$ и вольфрама $\rm(WS_2)$. В идеальном эксперименте разность температур $\Delta T$ можно было бы описать формулой:\begin{equation}\Delta T=Ad,\tag1\end{equation}где $A=\cfrac{4Q}{\pi\varkappa_\perp D^2}$, а $\varkappa_\perp$ – коэффициент теплопроводности в направлении, перпендикулярном слоям. Однако теплообмен между двумя пластинами происходит не только за счёт теплопроводности, но и за счёт других способов теплопередачи. Их можно с хорошей точностью учесть, добавив в уравнение $(1)$ поправочный член:\begin{equation}\Delta T=Ad-BT_0^{1/2}d^{3/2}.\tag2\end{equation}

A1  ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулы для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ – некоторые числа.

A2  ^1.20 Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ и $B$ для каждой из температур $T_0$.

Будем считать, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ не зависит от температуры, если выполнено соотношение:\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2},\]где $\Delta A$ – максимальная разность значений $A$, полученных в предыдущем пункте, а $\overline B$ – среднее арифметическое полученных в предыдущем пункте значений $B$, $d_\max=200\ мкм$, $T_{0\max}=373\ К$.

A3  ^0.50 Выясните, можно ли по результатам эксперимента заключить, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ зависит от температуры, в листе ответов подчеркните правильный вариант (обе стороны неравенства должны быть явно вычислены в решении). Найдите среднее арифметическое $\overline A$ и вычислите по нему теплопроводность $\varkappa_\perp$.

A4  ^1.70 Выполните пункты $\bf A2$ и $\bf A3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$.

Часть B. Продольная теплопроводность (6.0 баллов)

Таким образом, нам будут интересны два асимптотических случая: $\it1)$ случай большой толщины образца $d$. При этом вклад теплопроводности внутри образца будет доминирующим, и изменение температуры можно описать уравнением:\begin{equation}\Delta T=\frac Ad-\frac B{d^2},\tag3\end{equation}где $A=\cfrac{A_0}{\varkappa_\parallel}$, $A_0=9.43\ мВт$ и $B$ – некоторые постоянные; $\it2)$ случай малой толщины образца $d$. При этом доминирующим будет вклад теплопроводности и излучения между образцом и окружающей средой, и изменение температуры можно описать уравнением:\begin{equation}\Delta T=\Delta T_{\max}-Cd,\tag4\end{equation}где $C$ – некоторый коэффициент. В таблице в листе ответов вам даны значения разности температуры $\Delta T$ в зависимости от толщины образца $d$ для трёх разных значений температуры $T_0$ и двух различных материалов – сульфидов молибдена $\rm(MoS_2)$ и вольфрама $\rm(WS_2)$. При решении задачи считайте, что половина точек с бóльшим $d$ соответствует случаю $\it1)$, а другая половина – случаю $\it2)$. Рассмотрим сначала случай $\it1)$.

B1  ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $A$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ – некоторые числа.

B2  ^1.00 Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ для каждой из температур $T_0$. Отсюда для каждой $T_0$ найдите значения $\varkappa_\parallel$. Найдите коэффициент анизотропии теплопроводности $\rho=\cfrac{\varkappa_\parallel}{\varkappa_\perp}$ при температуре $T_0=273\ К$.

В этот раз значения $\varkappa_\parallel$ явно зависят от температуры. Можно предположить, что они удовлетворяют степенной зависимости $\varkappa_\parallel\propto\cfrac1{T_0^n}$.

B3  ^0.40 Найдите $n$.

B4  ^1.40 Выполните пункты $\bf B2$ и $\bf B3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$.

Рассмотрим теперь случай $\it2)$.

B5  ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $\Delta T_{\max}$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ – некоторые числа.

B6  ^1.20 Для каждого из материалов найдите $\Delta T_{\max}$ для каждой из температур $T_0$.

Для того, чтобы в будущем улучшить условия проведения эксперимента, учёные хотят узнать, из-за чего в первую очередь теплота передаётся от образца окружающей среде – из-за теплопроводности или излучения. Для этого как раз можно использовать полученные значения $\Delta T_{\max}$. Можно показать, что если доминирующий вклад вносит теплопроводность, то $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{\sqrt{T_0}}$, а если излучение, то $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{T_0^3}$. Попробуем приблизить $\Delta T_{\max}$ степенной зависимостью $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{T_0^m}$.

B7  ^0.80 Для каждого из материалов найдите $m$. Что вносит в теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад – теплопроводность или излучение? Подчеркните правильный вариант в листе ответов.