Pho.rs: Анизотропия теплопроводности

A1 ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулы для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ – некоторые числа.

1 Записано выражение:\[S=\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2\]для минимизируемой суммы.	0.10
2 Получена система линейных уравнений:\[\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_id_i-Ad_i^2+BT_0^{1/2}d_i^{5/2}\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{3/2}-Ad_i^{5/2}+BT_0^{1/2}d_i^3\right)\end{cases}\]	0.20
3 Система переписана через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta Td}-A\overline{d^2}+BT_0^{1/2}\overline{d^{5/2}}\\0=\overline{\Delta Td^{3/2}}-A\overline{d^{5/2}}+BT_0^{1/2}\overline{d^3}\end{cases}\]	0.10
4 Получены ответы:\[\begin{array}lA=\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^{5/2}}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^3}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\\B=\cfrac1{\sqrt{T_0}}\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^2}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^{5/2}}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\end{array}\]	2 × 0.10

A2 ^1.20 Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ и $B$ для каждой из температур $T_0$.

1

Получены средние по выборке значения следующих произведений:

$\overline{d^2}=1.540\cdot10^4~мкм^2$;
$\overline{d^{5/2}}=1.911\cdot10^5~мкм^{5/2}$;
$\overline{d^3}=2.420\cdot10^6~мкм^3$;
$\overline{\Delta Td}_{(273~К)}=9.505\cdot10^1~К\cdotмкм$;
$\overline{\Delta Td}_{(323~К)}=8.792\cdot10^1~К\cdotмкм$;
$\overline{\Delta Td}_{(373~К)}=8.220\cdot10^1~К\cdotмкм$;
$\overline{\Delta Td^{3/2}}_{(273~К)}=1.174\cdot10^3~К\cdotмкм^{3/2}$;
$\overline{\Delta Td^{3/2}}_{(323~К)}=1.085\cdot10^3~К\cdotмкм^{3/2}$;
$\overline{\Delta Td^{3/2}}_{(373~К)}=1.011\cdot10^3~К\cdotмкм^{3/2}$.

9 × 0.06

2

Получены значения:

$T_0,~К$	273	323	373
$A,~\cfracК{мм}$	7.46	7.18	7.59
$B,~\cfrac{К^{1/2}}{мм^{3/2}}$	0.199	0.208	0.298

6 × 0.11

A3 ^0.50 Выясните, можно ли по результатам эксперимента заключить, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ зависит от температуры, в листе ответов подчеркните правильный вариант (обе стороны неравенства должны быть явно вычислены в решении). Найдите среднее арифметическое $\overline A$ и вычислите по нему теплопроводность $\varkappa_\perp$.

1 Получен результат $\varkappa_\perp\ne\varkappa_\perp(T_0)$ (баллы ставятся, только если неравенство вычислено явно).	0.30
2 Получены ответы:\[\overline A=7.41~\cfracК{мм}\\\ \\\varkappa_\perp=53.3~\cfrac{мВт}{м\cdotК}\]	2 × 0.10

A4 ^1.70 Выполните пункты $\bf A2$ и $\bf A3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$.

1

Получены средние по выборке значения следующих произведений:

$\overline{d^2}=1.540\cdot10^4~мкм^2$;
$\overline{d^{5/2}}=1.911\cdot10^5~мкм^{5/2}$;
$\overline{d^3}=2.420\cdot10^6~мкм^3$;
$\overline{\Delta Td}_{(273~К)}=1.400\cdot10^2~К\cdotмкм$;
$\overline{\Delta Td}_{(323~К)}=1.330\cdot10^2~К\cdotмкм$;
$\overline{\Delta Td}_{(373~К)}=1.284\cdot10^2~К\cdotмкм$;
$\overline{\Delta Td^{3/2}}_{(273~К)}=1.732\cdot10^3~К\cdotмкм^{3/2}$;
$\overline{\Delta Td^{3/2}}_{(323~К)}=1.644\cdot10^3~К\cdotмкм^{3/2}$;
$\overline{\Delta Td^{3/2}}_{(373~К)}=1.585\cdot10^3~К\cdotмкм^{3/2}$.

9 × 0.06

2

Получены значения:

$T_0,~К$	273	323	373
$A,~\cfracК{мм}$	10.37	10.44	10.60
$B,~\cfrac{К^{1/2}}{мм^{3/2}}$	0.197	0.256	0.300

6 × 0.11

3 Получен результат $\varkappa_\perp\ne\varkappa_\perp(T_0)$ (баллы ставятся, только если неравенство вычислено явно).

0.30

4 Получены ответы:\[\overline A=10.47~\cfracК{мм}\\\varkappa_\perp=37.7~\cfrac{мВт}{м\cdotК}\]

2 × 0.10

B1 ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $A$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ – некоторые числа.

1 Записано выражение:\[S=\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2\]для минимизируемой суммы.	0.10
2 Получена система линейных уравнений:\[\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{-1}-Ad_i^{-2}+Bd_i^{-3}\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{-2}-Ad_i^{-3}+Bd_i^{-4}\right)\end{cases}\]	0.20
3 Система переписана через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta Td^{-1}}-A\overline{d^{-2}}+B\overline{d^{-3}}\\0=\overline{\Delta Td^{-2}}-A\overline{d^{-3}}+B\overline{d^{-4}}\end{cases}\]	0.10
4 Получен ответ:\[A=\frac{\overline{\Delta Td^{-2}}\cdot\overline{d^{-3}}-\overline{\Delta Td^{-1}}\cdot\overline{d^{-4}}}{\overline{d^{-3}}^2-\overline{d^{-2}}\cdot\overline{d^{-4}}}\]	0.20

B2 ^1.00 Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ для каждой из температур $T_0$. Отсюда для каждой $T_0$ найдите значения $\varkappa_\parallel$. Найдите коэффициент анизотропии теплопроводности $\rho=\cfrac{\varkappa_\parallel}{\varkappa_\perp}$ при температуре $T_0=273\ К$.

1

Получены средние по выборке значения следующих произведений:

$\overline{d^{-2}}=4.308\cdot10^{-5}~мкм^{-2}$;
$\overline{d^{-3}}=2.968\cdot10^{-7}~мкм^{-3}$;
$\overline{d^{-4}}=2.106\cdot10^{-9}~мкм^{-4}$;
$\overline{\Delta Td^{-1}}_{(273~К)}=7.16\cdot10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$;
$\overline{\Delta Td^{-1}}_{(323~К)}=7.64\cdot10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$;
$\overline{\Delta Td^{-1}}_{(373~К)}=8.11\cdot10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$;
$\overline{\Delta Td^{-2}}_{(273~К)}=4.919\cdot10^{-5}~К\cdotмкм^{-2}$;
$\overline{\Delta Td^{-2}}_{(323~К)}=5.223\cdot10^{-5}~К\cdotмкм^{-2}$;
$\overline{\Delta Td^{-2}}_{(373~К)}=5.533\cdot10^{-5}~К\cdotмкм^{-2}$.

9 × 0.05

2

Получены значения:

$T_0,~К$	273	323	373
$A,~мкм\cdotК$	179.6	218.8	247.5

3 × 0.10

3

Получены значения:

$T_0,~К$	273	323	373
$\varkappa_\parallel,~\cfrac{Вт}{м\cdotК}$	52.5	43.1	38.1

3 × 0.05

5 Получен ответ:\[\rho=9.85\cdot10^2\]

0.10

B3 ^0.40 Найдите $n$.

1 Получен ответ:\[n=1.03\]

0.40

B4 ^1.40 Выполните пункты $\bf B2$ и $\bf B3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$.

1

Получены средние по выборке значения следующих произведений:

$\overline{d^{-2}}=4.308\cdot10^{-5}~мкм^{-2}$;
$\overline{d^{-3}}=2.968\cdot10^{-7}~мкм^{-3}$;
$\overline{d^{-4}}=2.106\cdot10^{-9}~мкм^{-4}$;
$\overline{\Delta Td^{-1}}_{(273~К)}=8.67\cdot10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$;
$\overline{\Delta Td^{-1}}_{(323~К)}=9.18\cdot10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$;
$\overline{\Delta Td^{-1}}_{(373~К)}=9.93\cdot10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$;
$\overline{\Delta Td^{-2}}_{(273~К)}=5.926\cdot10^{-5}~К\cdotмкм^{-2}$;
$\overline{\Delta Td^{-2}}_{(323~К)}=6.269\cdot10^{-5}~К\cdotмкм^{-2}$;
$\overline{\Delta Td^{-2}}_{(373~К)}=6.757\cdot10^{-5}~К\cdotмкм^{-2}$.

9 × 0.05

2

Получены значения:

$T_0,~К$	273	323	373
$A,~мкм\cdotК$	250.0	276.7	325.7

3 × 0.10

3

Получены значения:

$T_0,~К$	273	323	373
$\varkappa_\parallel,~\cfrac{Вт}{м\cdotК}$	37.7	34.1	29.0

3 × 0.05

4 Получен ответ:\[\rho=1.000\cdot10^3\]

0.10

5 Получен ответ:\[n=1.02\]

0.40

B5 ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $\Delta T_{\max}$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ – некоторые числа.

1 Записано выражение:\[S=\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2\]для минимизируемой суммы.	0.10
2 Получена система линейных уравнений:\[\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i-\Delta T_\max d_i+Cd_i^2\right)\end{cases}\]	0.20
3 Система переписана через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta T}-\Delta T_\max+C\overline d\\0=\overline{\Delta Td}-\Delta T_\max\overline d+C\overline{d^2}\end{cases}\]	0.10
4 Получен ответ:\[\Delta T_\max=\frac{\overline{\Delta T}\cdot\overline{d^2}-\overline d\cdot\overline{\Delta Td}}{\overline{d^2}-\overline d^2}\]	0.20

B6 ^1.20 Для каждого из материалов найдите $\Delta T_{\max}$ для каждой из температур $T_0$.

1

Получены ответы:

$T_0,~К$	273	323	373
$\overset{\mathrm{MoS_2:}}{\Delta T_\max,~К}$	2.841	2.451	2.159
$\overset{\mathrm{WS_2:}}{\Delta T_\max,~К}$	3.155	2.679	2.293

6 × 0.20

B7 ^0.80 Для каждого из материалов найдите $m$. Что вносит в теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад – теплопроводность или излучение? Подчеркните правильный вариант в листе ответов.

1

Получены ответы:

Материал	$\rm MoS_2$	$\rm WS_2$
$m$	0.88	0.83

2 × 0.30

2 Сделан вывод, что основной вклад в теплопередачу между образцом и окружающей средой вносит теплопроводность.

2 × 0.10

Анизотропия теплопроводности

Разбалловка