A1  ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулы для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа.

Согласно методу, описанному в условии, составляем систему уравнений:\[\begin{array}l \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial A}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial B}=0\end{cases},\quadгде\quad S=\sum_i\left(\Delta T_{i\ \mathrm{exp}}-\Delta T_{i\ \mathrm{th}}(d_i, A, B)\right)^2=\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2\end{array}\]Таким образом, система примет вид:\[\begin{cases} \cfrac\partial{\partial A}\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2=0\\\cfrac\partial{\partial B}\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_id_i-Ad_i^2+BT_0^{1/2}d_i^{5/2}\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{3/2}-Ad_i^{5/2}+BT_0^{1/2}d_i^3\right)\end{cases}\]Это — система линейных уравнений относительно коэффициентов $A$ и $B$. Коэффициенты в ней представляют собой необходимые произведения вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$. Через средние значения этих произведений по экспериментальной выборке эта система записывается несколько элегантнее в виде:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta Td}-A\overline{d^2}+BT_0^{1/2}\overline{d^{5/2}}\\0=\overline{\Delta Td^{3/2}}-A\overline{d^{5/2}}+BT_0^{1/2}\overline{d^3}\end{cases}\]Решая эту систему, получим окончательно:\[\begin{array}lA=\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^{5/2}}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^3}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\\B=\cfrac1{\sqrt{T_0}}\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^2}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^{5/2}}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\end{array}\]

A2  ^1.20 Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ и $B$ для каждой из температур $T_0$.

$T_0=273~К$											$\overline\dots$
$d,~мкм$	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	0.138	0.266	0.394	0.532	0.662	0.777	0.831	0.954	1.137	1.189	0.688
$\Delta Td,~К\cdotмкм$	2.76	10.64	23.64	42.56	66.20	93.24	116.34	152.64	204.66	237.80	95.05
$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$	12.34	6729	18311	380.67	662.00	1021.39	1376.55	1930.76	2745.80	3363.00	1174.29
$d^2,~мкм^2$	400	1600	3600	6400	10000	14400	19600	25600	32400	40000	15400
$d^{5/2},~мкм^{5/2}$	1788.85	10119.29	27885.48	57243.34	100000.00	157744.10	231910.33	323817.23	434691.61	565685.42	191088.57
$d^3,~мкм^3$	8000	64000	216000	512000	1000000	1728000	2744000	4096000	5832000	8000000	2420000

 

$T_0=323~К$											$\overline\dots$
$d,~мкм$	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	0.137	0.271	0.390	0.496	0.577	0.719	0.788	0.877	1.046	1.098	0.640
$\Delta Td,~К\cdotмкм$	2.74	10.84	23.40	39.68	57.70	86.28	110.32	140.32	188.28	219.60	87.92
$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$	12.25	68.56	181.26	354.91	577.00	945.15	1305.32	1774.92	2526.04	3105.61	1085.10
$d^2,~мкм^2$	400	1600	3600	6400	10000	14400	19600	25600	32400	40000	15400
$d^{5/2},~мкм^{5/2}$	1788.85	10119.29	27885.48	57243.34	100000.00	157744.10	231910.33	323817.23	434691.61	565685.42	191088.57
$d^3,~мкм^3$	8000	64000	216000	512000	1000000	1728000	2744000	4096000	5832000	8000000	2420000

 

$T_0=373~К$											$\overline\dots$
$d,~мкм$	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	0.139	0.267	0.373	0.483	0.563	0.676	0.760	0.856	0.901	1.023	0.604
$\Delta Td,~К\cdotмкм$	2.78	10.68	22.38	38.64	56.30	81.12	106.40	136.96	162.18	204.60	82.20
$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$	12.43	67.55	173.35	345.61	563.00	888.63	1258.94	1732.42	2175.87	2893.48	1011.13
$d^2,~мкм^2$	400	1600	3600	6400	10000	14400	19600	25600	32400	40000	15400
$d^{5/2},~мкм^{5/2}$	1788.85	10119.29	27885.48	57243.34	100000.00	157744.10	231910.33	323817.23	434691.61	565685.42	191088.57
$d^3,~мкм^3$	8000	64000	216000	512000	1000000	1728000	2744000	4096000	5832000	8000000	2420000

A3  ^0.50 Выясните, можно ли по результатам эксперимента заключить, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ зависит от температуры, в листе ответов подчеркните правильный вариант (обе стороны неравенства должны быть явно вычислены в решении). Найдите среднее арифметическое $\overline A$ и вычислите по нему теплопроводность $\varkappa_\perp$.

Подставляем числа (учитывая, что $T_{0\max}=373~К$, $d_\max=0.2~мм$):\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2}\implies0.41~\cfracК{мм} < 2.03~\cfracК{мм}~-~зависит~/~\underline{не~зависит}.\]

A4  ^1.70 Выполните пункты $\bf A2$ и $\bf A3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$.

$T_0=273~К$											$\overline\dots$
$d,~мкм$	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	0.191	0.381	0.571	0.764	0.946	1.100	1.304	1.443	1.577	1.809	1.009
$\Delta Td,~К\cdotмкм$	3.82	15.24	34.26	61.12	94.60	132.00	182.56	230.88	283.86	361.80	140.01
$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$	17.08	96.39	265.38	546.67	946.00	1445.99	2160.08	2920.43	3808.38	5116.62	1732.30
$d^2,~мкм^2$	400	1600	3600	6400	10000	14400	19600	25600	32400	40000	15400
$d^{5/2},~мкм^{5/2}$	1788.85	10119.29	27885.48	57243.34	100000.00	157744.10	231910.33	323817.23	434691.61	565685.42	191088.57
$d^3,~мкм^3$	8000	64000	216000	512000	1000000	1728000	2744000	4096000	5832000	8000000	2420000

 

$T_0=323~К$											$\overline\dots$
$d,~мкм$	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	0.195	0.384	0.566	0.727	0.907	1.083	1.202	1.354	1.518	1.701	0.964
$\Delta Td,~К\cdotмкм$	3.9	15.36	33.96	58.16	90.7	129.96	168.28	216.64	273.24	340.2	133.04
$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$	17.44	97.15	263.05	520.20	907.00	1423.64	1991.12	2740.30	3665.90	4811.15	1643.70
$d^2,~мкм^2$	400	1600	3600	6400	10000	14400	19600	25600	32400	40000	15400
$d^{5/2},~мкм^{5/2}$	1788.85	10119.29	27885.48	57243.34	100000.00	157744.10	231910.33	323817.23	434691.61	565685.42	191088.57
$d^3,~мкм^3$	8000	64000	216000	512000	1000000	1728000	2744000	4096000	5832000	8000000	2420000

 

$T_0=373~К$											$\overline\dots$
$d,~мкм$	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	0.201	0.367	0.549	0.733	0.877	1.037	1.172	1.330	1.439	1.629	0.933
$\Delta Td,~К\cdotмкм$	4.02	14.68	32.94	58.64	87.70	124.44	164.08	212.80	259.02	325.80	128.41
$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$	17.98	92.84	255.15	524.49	877.00	1363.17	1941.42	2691.73	3475.12	4607.51	1584.64
$d^2,~мкм^2$	400	1600	3600	6400	10000	14400	19600	25600	32400	40000	15400
$d^{5/2},~мкм^{5/2}$	1788.85	10119.29	27885.48	57243.34	100000.00	157744.10	231910.33	323817.23	434691.61	565685.42	191088.57
$d^3,~мкм^3$	8000	64000	216000	512000	1000000	1728000	2744000	4096000	5832000	8000000	2420000

 

Подставляем числа (учитывая, что $T_{0\max}=373~К$, $d_\max=0.2~мм$):\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2}\implies0.23~\cfracК{мм} < 2.17~\cfracК{мм}~-~зависит~/~\underline{не~зависит}\]

B1  ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $A$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа.

Согласно методу, описанному в условии, составляем систему уравнений:\[\begin{array}l \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial A}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial B}=0\end{cases},\quadгде\quad S=\sum_i\left(\Delta T_{i\ \mathrm{exp}}-\Delta T_{i\ \mathrm{th}}(d_i, A, B)\right)^2=\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2\end{array}\]Таким образом, система примет вид:\[\begin{cases} \cfrac\partial{\partial A}\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2=0\\\cfrac\partial{\partial B}\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{-1}-Ad_i^{-2}+Bd_i^{-3}\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{-2}-Ad_i^{-3}+Bd_i^{-4}\right)\end{cases}\]Это — система линейных уравнений относительно коэффициентов $A$ и $B$. Коэффициенты в ней представляют собой необходимые произведения вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$. Через средние значения этих произведений по экспериментальной выборке эта система записывается несколько элегантнее в виде:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta Td^{-1}}-A\overline{d^{-2}}+B\overline{d^{-3}}\\0=\overline{\Delta Td^{-2}}-A\overline{d^{-3}}+B\overline{d^{-4}}\end{cases}\]Решая эту систему относительно $A$, получим окончательно:\[A=\frac{\overline{\Delta Td^{-2}}\cdot\overline{d^{-3}}-\overline{\Delta Td^{-1}}\cdot\overline{d^{-4}}}{\overline{d^{-3}}^2-\overline{d^{-2}}\cdot\overline{d^{-4}}}.\]

B2  ^1.00 Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ для каждой из температур $T_0$. Отсюда для каждой $T_0$ найдите значения $\varkappa_\parallel$. Найдите коэффициент анизотропии теплопроводности $\rho=\cfrac{\varkappa_\parallel}{\varkappa_\perp}$ при температуре $T_0=273\ К$.

$T_0=273~К$						$\overline\dots$
$d,~мкм$	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	1.372	1.157	1.055	0.948	0.846
$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$	11.43	8.26	6.59	5.27	4.23	7.16
$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$	95.28	59.03	41.21	29.26	21.15	49.19
$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$	69.44	51.02	39.06	30.86	25.00	43.08
$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$	578.70	364.43	244.14	171.47	125.00	296.75
$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$	4.823	2.603	1.526	0.953	0.625	2.106

 

$T_0=323~К$						$\overline\dots$
$d,~мкм$	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	1.407	1.247	1.144	1.019	0.948
$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$	11.73	8.91	7.15	5.66	4.74	7.64
$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$	97.71	63.62	44.69	31.45	23.70	52.23
$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$	69.44	51.02	39.06	30.86	25.00	43.08
$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$	578.70	364.43	244.14	171.47	125.00	296.75
$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$	4.823	2.603	1.526	0.953	0.625	2.106

 

$T_0=373~К$						$\overline\dots$
$d,~мкм$	120	140	160	180	200
$\Delta T,~К$	1.455	1.356	1.194	1.107	1.024
$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$	12.13	9.69	7.46	6.15	5.12	8.11
$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$	101.04	69.18	46.64	34.17	25.60	55.33
$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$	69.44	51.02	39.06	30.86	25.00	43.08
$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$	578.70	364.43	244.14	171.47	125.00	296.75
$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$	4.823	2.603	1.526	0.953	0.625	2.106

B3  ^0.40 Найдите $n$.

Вычислить по МНК коэффициенты $\varkappa_{\parallel,0}$ и $n$ для моделирующей функции вида:\[\varkappa_\parallel=\frac{\varkappa_{\parallel,0}}{T_0^n}\]можно с помощью стандартного калькулятора.

B4  ^1.40 Выполните пункты $\bf B2$ и $\bf B3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$.

$T_0=273~К$						$\overline\dots$
$d,~мкм$	120	140	160	180	200	160
$\Delta T,~К$	1.596	1.417	1.284	1.163	1.084	1.309
$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$	13.30	10.12	8.03	6.46	5.42	8.67
$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$	110.83	72.30	50.16	35.90	27.10	59.26
$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$	69.44	51.02	39.06	30.86	25.00	43.08
$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$	578.70	364.43	244.14	171.47	125.00	296.75
$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$	4.823	2.603	1.526	0.953	0.625	2.106

 

$T_0=323~К$						$\overline\dots$
$d,~мкм$	120	140	160	180	200	160
$\Delta T,~К$	1.678	1.482	1.370	1.255	1.162	1.389
$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$	13.98	10.59	8.56	6.97	5.81	9.18
$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$	116.53	75.61	53.52	38.73	29.05	62.69
$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$	69.44	51.02	39.06	30.86	25.00	43.08
$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$	578.70	364.43	244.14	171.47	125.00	296.75
$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$	4.823	2.603	1.526	0.953	0.625	2.106

 

$T_0=373~К$						$\overline\dots$
$d,~мкм$	120	140	160	180	200	160
$\Delta T,~К$	1.763	1.607	1.509	1.355	1.307	1.508
$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$	14.69	11.48	9.43	7.53	6.54	9.93
$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$	122.43	81.99	58.95	41.82	32.68	67.57
$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$	69.44	51.02	39.06	30.86	25.00	43.08
$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$	578.70	364.43	244.14	171.47	125.00	296.75
$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$	4.823	2.603	1.526	0.953	0.625	2.106

 

Вычислить по МНК коэффициенты $\varkappa_{\parallel,0}$ и $n$ для моделирующей функции вида:\[\varkappa_\parallel=\frac{\varkappa_{\parallel,0}}{T_0^n}\]можно с помощью стандартного калькулятора.

B5  ^0.60 С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $\Delta T_{\max}$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа.

Согласно методу, описанному в условии, составляем систему уравнений:\[\begin{array}l \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial\left( \Delta T_\max\right)}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial C}=0\end{cases},\quadгде\quad S=\sum_i\left(\Delta T_{i\ \mathrm{exp}}-\Delta T_{i\ \mathrm{th}}(d_i, A, B)\right)^2=\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2\end{array}\]Таким образом, система примет вид:\[\begin{cases} \cfrac\partial{\partial \left(\Delta T_\max\right)}\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2=0\\\cfrac\partial{\partial C}\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i-\Delta T_\max d_i+Cd_i^2\right)\end{cases}\]Это — система линейных уравнений относительно коэффициентов $A$ и $B$. Коэффициенты в ней представляют собой необходимые произведения вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$. Через средние значения этих произведений по экспериментальной выборке эта система записывается несколько элегантнее в виде:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta T}-\Delta T_\max+C\overline d\\0=\overline{\Delta Td}-\Delta T_\max\overline d+C\overline{d^2}\end{cases}\]Решая эту систему относительно $\Delta T_\max$, получим окончательно:\[\Delta T_\max=\frac{\overline{\Delta T}\cdot\overline{d^2}-\overline d\cdot\overline{\Delta Td}}{\overline{d^2}-\overline d^2}.\]

B6  ^1.20 Для каждого из материалов найдите $\Delta T_{\max}$ для каждой из температур $T_0$.

Можно, конечно, воспользоваться формулой из предыдущего пункта, но так как моделирующая функция — это попросту линейная зависимость, величину $\Delta T_\max$ можно вычислить по МНК и с помощью стандартного калькулятора.

B7  ^0.80 Для каждого из материалов найдите $m$. Что вносит в теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад — теплопроводность или излучение? Подчеркните правильный вариант в листе ответов.

Вычислить по МНК коэффициенты $\Delta T_{\max,0}$ и $m$ для моделирующей функции вида:\[\Delta T_\max=\frac{\Delta T_{\max,0}}{T_0^m}\]можно с помощью стандартного калькулятора. Получим в итоге:

• для $\rm MoS_2$, $m=0.88$ – основной вклад вносит $\underline{теплопроводность}$ / излучение;
• для $\rm WS_2$, $m=0.83$ – основной вклад вносит $\underline{теплопроводность}$ / излучение.