Скрип очень распространен в повседневной жизни, и наблюдается при закрывании дверей, при письме мелом на доске, при игре на скрипке, при ходьбе в новой обуви и других явлениях. Здесь в Израиле, причины обуславливающие скрип, вызывают сильные землетрясения, повторяющиеся один раз в несколько десятилетий. Они происходят недалеко от Мертвого моря, чуть выше самого глубокого из известных разломов в земной коре.
Физический механизм скрипа кроется в различии между коэффициентом трения покоя и коэффициентом трения скольжения. В данной задаче мы изучим этот механизм применительно к открывающейся двери.
Рассмотрите следующую систему (см. рис. 1):
К телу массой $m$ присоединена длинная идеальная пружина с коэффициентом жесткости $k$, другой конец которой тянут с постоянной скоростью $u$. Коэффициент трения покоя и
коэффициент трения скольжения о поверхность равны $\mu_s$
и $\mu_k$, причем $\mu_k < \mu_s$.
Эта простейшая модель допускает два различных режима движения:
1. Движение всегда сопровождается проскальзыванием. Назовем этот режим чистым скольжением.
2.Движение, при котором происходит поочередная смена проскальзывания и покоя относительно поверхности. Это явление назовем прерывистым скольжением. Такое прерывистое скольжение является источником скрипящего звука, с которым мы часто сталкиваемся в повседневной жизни.
Рассмотрите случай, когда в начальный момент времени, $t = 0$, тело тянут по полу со скоростью $v_0$, и сила упругости пружины уравновешивается силой трения скольжения. Считайте, что $0 < v_0 < u$. При этом удлинение пружины будет периодически изменяться как функция времени $t$.
Режим движения с прерывистым скольжением прекращается при достаточно больших значениях скорости $u$. Давайте рассмотрим один из возможных механизмов для объяснения этого явления.
Затухание, рассмотренное в пункте A6, не надо учитывать во второй части этой задачи.
Дверная петля представляет собой полый, открытый металлический цилиндр радиуса $r$, высотой $h$ и толщиной стенок $\Delta r$. Нижнее основание цилиндра находится на металлической опоре, прикрепленной к стене (область контакта – это кольцо радиуса $r$ и толщиной $\Delta r \ll r$); см. рис. 2. Коэффициенты трения скольжения и трения покоя между цилиндром и его опорой равны соответственно $\mu_k$ и $\mu_s$, причем $\mu_k < \mu_s$. Верхнее основание цилиндра жестко прикреплено к двери, которая считается абсолютно твердым телом. Обычно дверь висит на двух или трех петлях, но ее вес падает только на одну петлю — ту, которая и будет скрипеть. Цилиндр этой петли давит на свою металлическую опору с силой, равной весу всей двери, масса которой $M$.
Цилиндр самой петли не является абсолютно твердым телом, он подвергается деформации сдвига без изменения своей формы, так что вертикальные линейные сегменты становятся наклонными с некоторым маленьким углом $\alpha$ (см. рисунок 3). Сила упругости, действующая на элемент малой площади $dS$ и обусловленная деформацией сдвига, определяется как:
\begin{equation*}
dF = G \alpha dS,
\end{equation*}где $G$ - модуль сдвига (константа, характеризующая упругие свойства материала). Для расчетов используйте следующие значения $r = 5 \,мм$, $h = 3 \,см$, $\Delta r = 1 \, мм$, $\mu_s = 0.75$, $\mu_k = 0.55$, $G = 8 \cdot 10^{10} \,Па$, $M = 30 \,кг$, $g = 9.8\, м/с^2$. Используйте приближение $\Delta r \ll r$.