При движении перемычки в магнитном поле между ее сторонами, скользящими по направляющим возникает ЭДС равная $\varepsilon_{и}=Bvl$, где $v$ – скорость перемычки. Изменение скорости перемычки происходит из-за воздействия на нее силы Ампера равной $F_{а}=IBl$ при протекающем через нее токе $I$. Тот же ток заряжает или разряжает конденсатор (в зависимости от направления движения перемычки).
Второй закон Ньютона для перемычки:
$$
ma=IBl, \\
m\frac{\Delta v}{\Delta t}=IBl, \\
m\Delta v=I\Delta t Bl=-\Delta qBl,
$$
где $\Delta q$ – изменение зарядка конденсатора.
При разгоне перемычки от нулевой скорости до $v_{1}$:
$$
\Delta v=v_{1}=\frac{-\Delta qBl}{m}=\frac{(CU_{0}-q)Bl}{m}, \\
q=CBv_{1}l.
$$
Тогда:
$$
v_{1}=\frac{C(U_{0}-Bv_{1}l)Bl}{m}=\frac{CU_{0}Bl}{m \left(1+\frac{B^{2}l^{2}C}{m} \right)}.
$$
Рассмотрим $n$-ое столкновение со стенкой. Перемычка налетает со скоростью $v_{n}$. Заряд на конденсаторе при этом равен $q_{n}=CBlv_{n}$.
После столкновения перемычка движется в противоположном направлении с той же скоростью $v_{n}$, соответствующей теперь противоположному знаку заряда конденсатора.
Изменение скорости перемычки в процессе перезарядки:
$$
v_{n}-v_{n+1}=\frac{(q_{n}+q_{n+1})Bl}{m}.
$$
Здесь $v_{n+1}$ и $q_{n+1}$ – модули скорости и зарядка конденсатора при установлении соответствия между ЭДС индукции и напряжением на конденсаторе после столкновения. При этом учтено, что знак заряда конденсатора изменился и $\Delta q=q_{n}+q_{n+1}$.
$$
v_{n}-v_{n+1}=\frac{(v_{n}+v{n+1})B^{2}l^{2}C}{m}.
$$
Отсюда:
$$
v_{n+1}=v_{n}\frac{1-\frac{B^{2}l^{2}C}{m}}{1+\frac{B^{2}l^{2}C}{m}}.
$$
После $n$ столкновений скорость равна:
$$
v_{n+1}=v_{1} \left(\frac{1-\frac{B^{2}l^{2}C}{m}}{1+\frac{B^{2}l^{2}C}{m}}\right)^{n}=\frac{CU_{0}Bl}{m}\frac{\left(1-\frac{B^{2}l^{2}C}{m} \right)^{n}}{\left(1+\frac{B^{2}l^{2}C}{m} \right)^{n+1}}.
$$