$\mathbf{Способ~1}$
Перейдём в инерциальную систему отсчёта, двигающуюся со скоростью $(\omega_{x}, \omega_{y})$, с которой двигался бы шарик через большое время (установившаяся скорость, если бы не дно). Поместим начало этой системы в точку $O$ в момент бросания. В этой системе отсчета река не движется вдоль оси $OX$, а движение реки вдоль оси $OY$ компенсирует силу тяжести, поэтому полная сила (в данной СО), действующая на камешек, прямо пропорциональна скорости: $\vec a=-k\vec u$, где $u$ – скорость шарика в этой СО. Поэтому движение в ней происходит по прямой, а изменение скорости пропорционально смещению в этой же системе отсчета с тем же коэффициентом. Значение коэффициента $k$ находится из начальных условий – вертикальная компонента ускорения при бросании без начальной скорости $g=k\omega_{y}$. В момент падения второго шарика в точку $C$, начало отсчета находится в точке $O^{'}$ (см. рисунок).
Рассмотрим точку $E$, в которой будет первый шарик через то время, за которое второй шарик падает на дно. Она находится над точкой $C$, так как проекции начальных скоростей на $OX$ одинаковы. $\triangle EBC \propto \triangle EO^{'}D$, поэтому $O^{'}D=L\omega_{y}/v$. Горизонтальная скорость в момент падения:
$$
\omega=k\cdot O^{'}D=\frac{g}{\omega_{y}}\frac{L\omega_{y}}{v}=\frac{gL}{v}.
$$
$\mathbf{Способ~2}$
Ось $OX$ сонаправлена со скоростью реки, а ось $OY$ направлена вертикально вниз.
Введем обозначения $\omega_{x}$ – скорость течения реки, $\omega_{y}=g/k$. Тогда:
$$
\left \{
\begin{array} {ll}
\dot{v_{x}}=-kv_{x}+k\omega_{x} \\
\dot{v_{y}}=-kv_{x}+k\omega_{y}
\end{array} \right.
$$
Уравнения без индекса выполнены для обеих проекций:
$$
\frac{dv}{v-\omega}=-kdt,
$$
следовательно
$$
v=\omega+(v_{0}-\omega)e^{-kt}=\omega(1-e^{-kt})+v_{0}e^{-kt}.
$$
Введём обозначение:
$$
f(t)=\int \limits_0^{t}(1-e^{-kt})dt^{'}.
$$
Тогда смещение по оси $OX$ равно:
$$
\Delta x_{1}=\int \limits_0^{t_{1}} v_{x}dt=\omega_{x}f(t_{1}), \\
\Delta y_{1} = \int \limits_0^{t_{1}} v_{y}dt=\omega_{y}f(t_{1}),
$$
где $H$ – глубина реки.
Во втором случае время падения равно $t_{2}$:
$$
\Delta x_{2}=\int \limits_0^{t_{2}} v_{x}dt=\omega_{x}f(t_{2})=\Delta x_{1}-L, \\
\Delta y_{2}=\int \limits_0^{t_{2}} v_{y}dt=\omega_{y}f(t_{2})+v \int \limits_0^{t_{2}} e^{-kt}dt=\omega_{y}f(t_{2})+\frac{v}{k}(1-e^{-kt_{2}})=H.
$$
Вычитая попарно уравнения, записанные для разных осей получаем:
$$
\left \{
\begin{array} {ll}
\omega_{x}(f(t_{1})-f(t_{2}))=L \\
\omega_{y}(f(t_{1})-f(t_{2}))-\frac{v}{k}(1-e^{-kt_{2}})=0
\end{array} \right.
$$
Замечая, что искомая скорость $\omega$ равна:
$$
\omega=\omega_{x}(1-e^{-kt_{2}})=\frac{kL\omega_{y}}{v}=\frac{gL}{v}.
$$