1  ^?? температуру $T$ цилиндров;

Пусть $M$ – масса цилиндра. В случае, если после погружения цилиндра в калориметр жидкость не вытекает, уравнение теплового баланса выглядит так: $cM(T-t)=c_0m_0t$, где $t$ — установившаяся в калориметре температура, отсюда:
$$
t=\frac{cMT}{cM+c_0m_0}
\quad и \quad
\frac{1}{t}=\frac{1}{T}+\frac{c_0}{c}\frac{m_0}{T}\frac{1}{M} \tag 1
$$
Зависимость $y=\frac{1}{t}$ от $x=\frac{1}{M}$ будет линейной с угловым коэффициентом $k_1=\frac{c_0m_0}{cT}$ и свободным членом $b_1=\frac{1}{T}$.

Рассмотрим случай, когда при погружении часть жидкости вытекает, то есть объем цилиндра больше объёма части калориметра, незанятого жидкостью $\Delta V$. Тогда уравнение теплового баланса имеет вид:
$$
cM(T-t)=c_0\left(m_0-\frac{M}{\rho}\rho_0+\rho_0\Delta V\right)t,
\\
t=\frac{cMT}{cM+c_0m_0+c_0\rho_0\Delta V-\frac{M}{\rho}\rho_0c_0}.
$$
Для обратных величин:
$$
\frac{1}{t}=\frac{1}{T}\left(1-\frac{c_0\rho_0}{c\rho}\right)+\frac{c_0}{c}\frac{m_0+\Delta m}{T}\frac{1}{M}, \tag 2
$$
здесь $\Delta m=\rho_0\Delta V$.

Нанесем на координатную плоскость $(y,~x)$, где $y=\frac{1}{t}$, $x=\frac{m}{M}$ данные условия задачи. Соответствующий масштаб выбран для удобства (см. рисунок).

Видно, что точки, соответствующие данным в условии, принадлежат двум разным зависимостям, т. 1 и т. 2 зависимости $(1)$ (объём цилиндра меньше объёма $\Delta V$), т. 3 и т. 4 зависимости $(2)$ (объём цилиндра больше объёма $\Delta V$).

Применяя дважды уравнение $(1)$ для первого и второго цилиндра, получим, что их начальная температура $T=90^\circ$.

2  ^?? долю $\gamma$ объёма стакана калориметра, заполненного жидкостью;

Из сравнения угловых коэффициентов наклона зависимостей
$$
\frac{k_2}{k_1}=\frac{m_0+\Delta m}{m_0}=\frac{3}{2},
$$
следует, что доля объема стакана, заполненная жидкостью $\gamma=\frac{2}{3}$.

3  ^?? массу $m$ первого цилиндра;

Пересечение графиков при $m/M=0.5$ соответствует моменту начала вытекания жидкости. При этом масса цилиндра равна $2m=6\rho_0V/3$. Но масса жидкости $m_0=\rho_02V/3$, следовательно, $m=\frac{3}{2}m_0=300~г$.

4  ^?? отношение удельных теплоемкостей $c_0$ жидкости и $c$ металла.

Подставив, значения $T$ и $m$ в уравнение $(1)$ для первого цилиндра, получим: $c_0/c=12$.