Рассмотрим проводник с удельным сопротивлением $\rho $, длиной $l$ и поперечным сечением $S$ по которому течет сила тока $I$. По закону Джоуля-Ленца в проводнике в единице времени выделяется в виде тепла мощность, равная $W=I^2R,$ где плотность тока определяется выражением $j=\cfrac{I}{S},$ а сопротивление находится по формуле $R=\rho \cfrac{l}{S}$.
Из формул выше следует, что мощность тепловых потерь в единице объема определяется выражением
\begin{equation}
w=\frac{W}{Sl}=\rho j^2.
\end{equation}
С другой стороны закон Ома записывается в виде $U=IR$, в котором напряжение в проводнике выражается через напряженность поля $E$ в виде $U=El$. Поэтому в итоге можно записать закон Ома в дифференциальной форме
\begin{equation}
j=\frac{1}{\rho }E.
\end{equation}
Таким образом, согласно закону Джоуля-Ленца, мощность тепловых потерь в единице объема вещества равна
\begin{equation}
w=\rho (r){j(r)}^2,
\end{equation}
где плотность тока определяется выражением
\begin{equation}
j\left(r\right)=\frac{I}{4\pi r^2},
\end{equation}
а $\rho (r)$ — зависимость удельного сопротивления от расстояния $r$ до общего центра сфер.
С другой стороны закон Ома записывается в дифференциальной форме как
\begin{equation}
j\left(r\right)=\frac{1}{\rho \left(r\right)}E(r),
\end{equation}
где $E(r)$ — напряженность электрического поля в веществе.
Из соотношений выше следует, что напряженность электрического поля имеет вид
\begin{equation}
E\left(r\right)=\frac{w}{j(r)}=\frac{4\pi w}{I}r^2.
\end{equation}
Для определения заряда внутри проводящего вещества, воспользуемся теоремой Гаусса для замкнутого объема, который практически заключен между сферами радиуса $a$ и $b$
\begin{equation}
E\left(b\right)4\pi b^2-E\left(a\right)4\pi a^2=\frac{Q}{{\varepsilon }_0}.
\end{equation}
где $Q$ — полный заряд внутри проводящего вещества. Так как объем вещества, заключенного между двумя сферами равен
\begin{equation}
V=\frac{4}{3}\pi b^3-\frac{4}{3}\pi a^3,
\end{equation}
то средняя плотность заряда в проводящем веществе равна