0  ^?? Запишите в своё решение массу $M$ выданного вам лакированного цилиндра.

1  ^?? Определите среднюю плотность $\rho$ лакированного цилиндра.

В авторском комплекте оборудования масса палочки $M=1.02 \pm 0.02\ г,$ погрешность 2 единицы последнего разряда весов, относительная погрешность 2\%.

Измерим длину палочки линейкой. Длина палочки $L=240\pm 1~мм$ погрешность определяется ценой деления линейки, относительная погрешность $0.4\%$.

Определим плотность палочки с помощью силы Архимеда, для этого опустим палочку в мерный стакан и измерим длину $H$ выступающей над водой части палочки: $H = 62\pm1~мм$. Длину выступающей части измерять удобнее, чем длину погруженной в воду части палочки, так как в первом случае удается расположить линейку и палочку достаточно близко друг к другу. По закону Архимеда плотность палочки:
$$
\rho_{п} = \rho_{в}\cdot \dfrac{L-H}{L} = 1.00\cdot \dfrac{240-62}{240} = 0.74~г/см^{3}.
$$Абсолютная погрешность числителя в этой формуле составляет $2~мм$, так как при сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность числителя $\frac{2}{240-62} = 0.011 = 1.1\%$. При делении физических величин складываются относительные погрешности. Следовательно, относительная погрешность измерения плотности $0.4\% + 1.1\% = 1.5\%$. Окончательно для плотности:
$$
\rho_{п} = 0.74\pm 0.01~г/см^{3}.
$$

2  ^?? Определите массу отрезка пластиковой трубки $m$ двумя способами: используя правило моментов сил и закон Архимеда.

Определение массы трубки методом рычага. Для определения массы трубки $m$ с использованием правила моментов сил найдем положение $y$ центра масс палочки ($y$ — расстояние от края палочки, на который в дальнейшем будет надета трубка). В авторском комплекте $y=120\pm 1~мм$,  т.е. палочка является однородной. Наденем трубку на край палочки так, чтобы их торцы совпадали (заподлицо). Длина трубки $z = 49\pm 1~мм$. Теперь определим положение центра масс системы палочка-трубка относительно того же торца: $x= 92\pm 1~мм$. Правило моментов для этого случая имеет вид: $$mg\left(x-\dfrac{z}{2}\right)=Mg(y-x),$$откуда:
$$m=M\dfrac{y-x}{x-z/2}=0.42~г.$$
Абсолютная погрешность числителя этой дроби $2~мм$, относительная $\frac{2}{28}=0.07=7\%$. Абсолютная погрешность знаменателя $1.5~мм$. Относительная $\frac{1.5}{67.5}=0.02=2\%$. Относительная погрешность массы трубки $2\%+7\%+2\%=11\%$, $0.11\cdot 0.420=0.046~г$. Окончательно $$m=0.42\pm 0.05~г.$$

Определение массы трубки с помощью силы Архимеда. Опустим палочку с надетой трубкой в мерный стакан тяжелым концом вниз. Палочка должна плавать не касаясь дна. Измерим длину $h$ выступающей над водой части палочки $h=42\pm 1~мм$. Условие равновесия палочки: 
$$\left(m+M\right)g=\rho _{0}g\frac{\pi }{4}\left(D^{2}z+d^{2}\left(L-z-h\right)\right),$$
где $D$ — внешний диаметр трубки на палочке, $d$ — диаметр палочки, $ \left(L-z-h\right)$ — длина части палочки без трубки, находящейся в воде. $D$ и $d$ определим методом прокрутки, сделав десять оборотов с помощью двух линеек:
$$10\pi d=85\pm 1~мм,\qquad d=2.71\pm 0.03~мм,$$
относительная погрешность, $\frac{1}{85}=0.012=1.2\%$, 
$$10\pi D=125\pm 1~мм,\ D=3.98\pm 0.03~мм,$$
относительная погрешность $ \frac{1}{125}=0.008 = 0.8\%$.

Из условия равновесия палочки находим $$m = \rho_{0}\dfrac{\pi }{4}\left(D^{2}z+d^{2}\left(L-z-h\right)\right)-M=0.45~г.$$

Последовательно оценим погрешность:

• Абсолютная погрешность $\left(L-z-h\right)$ равна $3~мм$. Относительная $\frac{3}{149}=0.02=2\%$.
• Относительная погрешность $d^{2}\left(L-z-h\right)$ равна $1.2\%+1.2\%+2\%=4.4\%$. Абсолютная погрешность $d^{2}\left(L-z-h\right)$ равна $2.71\cdot 2.71\cdot 149\cdot 0.044=48~мм^{3}$.
• Окончательно $d^{2}\left(L-z-h\right)=1094\pm 48~мм^{3}$.
• Относительная погрешность $D^{2}z$ равна $0.8\%+0.8\%+2\%=3.6\%$. Абсолютная погрешность $D^{2}z$ равна $3.98\cdot 3.98\cdot 49\cdot 0.036=28~мм^{3}$.
• Окончательно $D^{2}z=776\pm 28~мм^{3}$.
• Абсолютная погрешность $\left(D^{2}z+d^{2}\left(L-z-h\right)\right)$ равна $28+48=76~мм^{3}$. Относительная погрешность $\left(D^{2}z+d^{2}\left(L-z-h\right)\right)$ равна $\frac{76}{776+1094}=0.041=4.1\%$.
• Абсолютная погрешность  $\rho _{0}\frac{\pi }{4}\left(D^{2}z+d^{2}\left(L-z-h\right)\right)$ равна $1\cdot \frac{3.14}{4}\left(1.094+0.776\right)\cdot 0.041=0.06~г$.
• Абсолютная погрешность $\rho _{0}\frac{\pi }{4}\left(D^{2}z+d^{2}\left(L-z-h\right)\right)-M$  (окончательного результата) равна $0.06+0.02 = 0.08~г$.
• Итоговое значение: $m=1\cdot \frac{3.14}{4}\left(1.094+0.776\right)-1.02=0.45~г$.

 

$$m = 0.45\pm0.08 г$$

Относительная погрешность результата, полученного с использованием силы Архимеда, равна 18\%. Реальное значение массы трубки, полученное непосредственно с помощью весов $m=\left(0.44\pm 0.02\right)~г$.