Преобразования в науке и технике, произошедшие в XIX столетии, привели к острой потребности во всемирно признанных стандартах электрических величин. Считалось, что новые абсолютные единицы должны основываться только на эталонах длины, массы и времени. С 1861 по 1912 год была проведена интенсивная экспериментальная работа по нахождению значений этих единиц. Мы предлагаем здесь три исследования этой проблемы.

Определение ома по Кельвину

Круговая короткозамкнутая плоская катушка из $N$ витков радиусом $a$ и общим сопротивлением $R$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикального диаметра в горизонтальном магнитом поле $\vec{B}_0 = B_0\vec{i}$.

A1  ^1.50 Подсчитайте электродвижущую силу $\mathcal E$, индуцированную в катушке, а также среднюю мощность $\langle P \rangle$, необходимую для поддержания движения катушки. Самоиндукцией катушки пренебречь.

Маленькая магнитная стрелка помещена в центр катушки, как показано на рисунке 1. Она может медленно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси $Z$, но не может поспевать за быстрым вращением катушки. Как только будет достигнут стационарный режим, стрелка установится в положении, составляющем малый угол $\theta$ c $ \vec{B}_0$.

A2  ^2.00 Выразите сопротивление $R$ катушки через угол $\theta$ и другие заданные параметры системы.

Лорд Кельвин применил этот метод в 1860-х годах для установления абсолютного стандарта для ома. Чтобы избавиться от вращающейся катушки, Лоренц применил использованный ранее лордом Рэлеем и мисс Зидгвик альтернативный метод, который исследуется в следующей части задачи.

Определение ома по Рэлею и Зидгвик

B1  ^2.00 Допустим, что ток $I$, протекающий через катушки $C$ и $C'$, создает однородное магнитное поле вокруг $D$ и $D'$, величину которого можно принять равной полю в центре катушек. Найдите электродвижущую силу $E$, индуцированную между краями дисков 1 и 4, предполагая, что расстояние между катушками значительно превышает радиус катушек и что $a \gg b$.

Пусть теперь диски подсоединены к электрической цепи щеточными контактами, касающимися краев дисков 1 и 4. Гальванометр $G$ регистрирует силу тока, протекающего по цепи 1-2-3-4. Сопротивление $R$ измеряется, когда гальванометр $G$ показывает ноль.

B2  ^0.50 Выразите сопротивление $R$ через физические параметры системы.

Определение ампера

Пропускание тока по двум проводникам и измерение силы, действующей между ними, позволяет получить абсолютное определение силы тока. Принцип действия токов весов <<токовых весов>>, изобретенных лордом Кельвином в 1882 году, основан на этом методе. Весы состоят из шести одинаковых одиночных витков радиусом $a$, соединенных последовательно. Как показано на рисунке 3, неподвижные витки $C_1, C_3, C_4$ и $C_6$ расположены в двух горизонтальных плоскостях, которые разделены малым расстоянием $2h$. Катушки $C_2$ и $C_5$ подвешены к плечам весов длиной $d$ и в состоянии равновесия находятся на одинаковых расстояниях от обеих плоскостей. Ток $I$ течет через различные катушки в таких направлениях, что сила со стороны магнитного поля, действующая на $C_2$, направлена вверх, в то время как сила, действующая на $C_5$, направлена вниз. Чтобы восстановить равновесие весов при протекании тока через цепь, требуется расположить массу $m$ на расстоянии $x$ от точки опоры $O$.

С1  ^1.00 Найдите силу $F$, действующую на $C_2$ благодаря магнитному взаимодействую с $C_1$. Для простоты считайте, что сила на единицу длины такая же, как при взаимодействии двух длинных линейных проводников, по которым текут параллельные токи.

С2  ^1.00 Сила тока измеряется, когда весы находятся в равновесии. Выразите ее значение $I$ через физические параметры системы, предполагая, что размеры установки таковы, что можно пренебречь действием левых катушек на правые и наоборот.

Пусть $M$ — масса всей подвешенной системы (за исключением $m$), $G$ — ее центр масс, а $l$ — расстояние $OG$.

С3  ^2.00 Равновесие весов оказывается устойчивым по отношению к малым отклонением $\delta z$ и $-\delta z$ витков $C_2$ и $C_5$ по высоте. Найдите максимальное значение $\delta z_{max}$, при котором весы все еще возвращаются в положение равновесие, когда их отпускают.