Вспомнить прошлое...

1  ^0.90 Определите траекторию частицы в поле $U(r)=\frac{\alpha}{r}+\frac{\beta}{r^2}$. Выразите изменение направления ее скорости при рассеянии через энергию и момент импульса.

2  ^1.60 Определите траекторию частицы в поле $U(r)=\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^2}$.

${}^*$Найдите время падения частицы в центр поля с расстояния $r$. Сколько оборотов вокруг центра сделает при этом частица?

3  ^1.10 Определите траекторию частицы в поле $U(r)=-\frac{\alpha}{r}+\frac{\beta}{r^2}$. Найдите угловое расстояние $\Delta \varphi$ между двумя последовательными прохождениями перигелия (точки $r=r_{\text {min}}$), период радиальных колебаний $T_r$ и период обращения $T_\varphi$. При каком условии траектория окажется замкнутой?

Ривёрс инжиниринг

4  ^0.60

Материальная точка (см. рисунок) движется в центральном поле под действием силы $F_r=-\alpha m / r^5$. При каком начальном моменте импульса траектория представляет собой окружность $r=2 R \cos \varphi$?

${}^*$Покажите, что в случае $F_r \neq-\alpha m / r^5$ такая траектория точки невозможна.

5  ^0.50 В каком центральном поле точка движется по траектории $r=p /\left[1+e \cos \omega\left(\varphi-\varphi_0\right)\right]$ (при иррациональном значении $\omega$ – незамкнутая розетка)? В этом уравнении постоянные $\omega$, $p$, $e$ и $\varphi_0$ определяются из начальных условий, причем $\omega=\sqrt{1+\beta m / M_0^2}$, $p=\omega^2 M_0^2 /m \alpha$, $M_0$ – начальный момент импульса, а постоянные $\alpha$ и $\beta$ не зависят от начальных условий.

Посчитаем поправки

6  ^1.50 Рассмотрим влияние малой добавки $\delta U(\vec{r})=-\vec{F}\vec{r}$ к кулоновскому полю на финитное движение частицы.

• Найдите среднюю за период скорость изменения момента импульса.
• Определите зависимость от времени момента импульса, размеров и ориентации орбиты, если сила $\vec{F}$ лежит в плоскости орбиты.
• ${}^*$Ответьте на тот же вопрос при произвольной ориентации силы.

Подсказка: Составьте и решите усредненные по периоду уравнения движения для векторов $\vec{M}=m[\vec{r}\vec {v}]$ и $\vec{A}=[\vec{v}\vec{M}]-\frac{\alpha \vec{r}}{r}$.

7  ^0.80 Покажите, что потенциальная энергия системы Земля–Луна в поле Солнца, усредненная за месяц, имеет вид $U(r)=-\frac{\alpha}{r}-\frac{\beta}{r^3}$ ($r$ – расстояние от центра масс системы Земля–Луна до Солнца; принять для простоты, что плоскость орбиты Луны совпадает с плоскостью орбиты Земли). Определите происходящее из-за этого смещение перигелия за сто лет. Масса Луны в $81$ раз меньше массы Земли, расстояние до Луны $a=380$ тыс. км, среднее расстояние до Солнца – 150 млн км.

8  ^2.00 Найдите систематическое изменение эллиптической орбиты частицы в поле $U(r)=-\alpha / r$ под влиянием малой добавки $\delta U=\beta r^2\left(3 \cos ^2 \theta-1\right)$ (таково, например, усредненное за месяц поле тяготения Луны в околоземном пространстве – поле «приливных сил»). Можете ограничиться случаем, когда плоскость орбиты проходит через ось $z$.

9  ^1.00 Определите среднюю скорость прецессии орбиты частицы в поле $U(r)=-\alpha / r$ под действием малой добавочной силы $\vec{F}=\beta \ddot{\vec{v}}$ (такой вид имеет сила торможения излучением, в этом случае $\beta=\frac{2}{3} \frac{q^2}{c^3}$, где $q$ – заряд частицы).