1
Полупространство $x > 0$ занято хорошо проводящей средой с магнитной проницаемостью $\mu$ и проводимостью $\sigma$. На его границе создано переменное магнитное поле $H=H_0\hat e_z\cos\omega t$, направленное вдоль оси $z$. Найдите распределение магнитного и электрического поля, а также плотность тока в проводнике.
2
Основываясь на результатах предыдущей задачи, найдите омические потери на единицу площади поверхности скин-слоя. Как это сделать легче всего?
3
Широкая плита с магнитной проницаемостью $\mu$ и проводимостью $\sigma$, ограниченная плоскостями $x=\pm h$, находится во внешнем однородном магнитном поле $H_0\hat e_z\mathrm e^{-i\omega t}$, параллельном её поверхности. Найдите распределение магнитного поля в плите. Исследуйте отдельно предельные случаи сильного $(\delta\ll h)$ и слабого $(\delta\gg h)$ скин-эффекта (в частости, найдите потери тепла $Q$ на единицу площади пластины).
Шарики
4
Металлический шар помещён в однородное магнитное поле с амплитудой $H_0$, меняющееся с частотой $\omega$. Найдите результирующее поле $H$ во всём пространстве и среднюю поглощаемую шаром мощность $Q$ при больших частотах. Радиус шара $a$, магнитная проницаемость $\mu$, проводимость $\sigma$.
5
Два шарика радиуса $a$ с проводимостью $\sigma$ помещены в переменное магнитное поле $H_0\mathrm e^{-i\omega t}$. Оцените силу их взаимодействия в случаях слабого и сильного скин-эффекта. Шарики расположены на расстоянии $r\gg a$ друг от друга вдоль линии, перпендикулярной $H_0$.
6
Маленькие металлические шарики радиуса $a$ с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$ равномерно распределены в вакууме так, что в среднем на единицу объёма приходится $n$ шариков, причём $na^3\ll1$. Вся система помещена в переменное магнитное поле $H_0\mathrm e^{-i\omega t}$. Во сколько раз изменится количество тепла, выделяющееся в единице объёма в пределе низких и высоких частот, если уменьшить радиус шариков в $p$ раз при сохранении их суммарного объёма? Для простоты считайте, что уменьшение радиуса не настолько велико, что режим сильного скин-эффекта мог бы перейти в режим слабого.
7
По кольцу радиуса $R=1$ см, расположенному в горизонтальной плоскости, протекает переменный ток $I=I_0\cos\omega t$. Над кольцом на его оси на высоте $z=10R$ свободно висит маленький медный шарик радиуса $a\ll R$. Найдите амплитуду $I_0$ тока в кольце, если $\omega\gg\frac{c^2}{\sigma a^2}$. Плотность меди $\rho\approx9~\frac{\text{г}}{\text{см}^{3}}$, её проводимость $\sigma=5\cdot10^{17}~\text{c}^{-1}$.
Экранирование поля
8
Тонкостенный круглый цилиндр радиуса $a$ помещён во внешнее магнитное поле $H_0$, перпендикулярное оси цилиндра. Найдите магнитное поле во всем пространстве, предполагая, что толщина стенки цилиндра $h$ мала по сравнению с радиусом цилиндра и толщиной скин-слоя $\delta$.
9
Бесконечный тонкостенный полый цилиндр в виде трубы с внешним радиусом $a$ и толщиной стенки $h\ll a$ помещён в переменное магнитное поле $H_0\mathrm e^{-i\omega t}$, параллельное его оси. Найдите амплитуду поля в полости в пределе $\delta\ll h$.
