1  ^?? Определите коэффициент $k$ у плотности жидкости (смотрите рисунок).

Согласно условию: $p_{0} = \rho g10h = 10\rho gh$. Полное давление в жидкости: ${p = p_{внешнее} + p_{гидростатическое}}$.
Пройдём по трубке от левой свободной поверхности к правой:
$$
0.8p_{0} + 4\rho g2h – \rho g3h + k \rho g4h – 3 \rho g3h = p_{0}.
$$С учётом первого уравнения получаем $k = 1.5$.

2  ^?? В каком направлении и на сколько сместится свободная поверхность жидкости в правом колене трубки в новом состоянии равновесия, если убрать пробку?

Т.к. давление на левый свободный уровень увеличится, то он опустится. Значит правый свободный уровень поднимется на ту же величину. Если считать смещение равным $s$, то
$$
p_{0} + 4\rho g(2h–2s) – \rho g(3h–2s) + 1.5 \rho g4h – 3 \rho g(3h+2s) = p_{0}.
$$Отсюда $s = h/6$.