Одним из основных методов материаловедения в современном мире является рентгеноструктурный анализ. Высокоинтенсивным, когерентным и монохроматичным излучением просвечивают исследуемый объект и анализируют, как изменяется изначальный пучок рентгеновских фотонов. Иногда используют $\textit{спектрометрические методы}$ — изучается изменение интенсивности пучка, прошедшего через вещество, в зависимости от длины волны излучения. Основными же способами исследования атомной структуры являются $\textit{дифракционные методы}$. Они основаны на исследовании дифракционной картины, получаемой в результате упругого рассеяния рентгеновского излучения на атомах образца. Отметим, что при упругом рассеянии длина волны излучения не изменяется. В качестве источника высокоинтенсивного и когерентного рентгеновского излучения в широком спектре длин волн используются $\textit{синхротроны}$ — большие кольцевые накопители заряженных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света. Такие частицы называют релятивистскими, поскольку их движение нельзя описывать при помощи законов классической механики Ньютона — нужно использовать законы механики Специальной Теории Относительности (СТО). Принцип работы синхротрона заключается в получении излучения от заряженных частиц на поворотных участках траектории их движения. Изменение направления скорости частиц обеспечивается поворотными магнитами. Траектория частицы (например, электрона) в синхротронном кольце состоит из прямолинейных участков, на которых электронам сообщается дополнительная энергия, и криволинейных участков почти постоянной кривизны, находящихся в сильном магнитном поле поворотных магнитов. На этих криволинейных участках электроны движутся с ускорением, и поэтому они испускают электромагнитное излучение рентгеновского диапазона. Мощный синхротрон работает в Курчатовском институте в Москве.
Уравнение движения заряженных частиц в магнитном поле при использовании механики СТО записывается в виде $\frac{d \vec {p}}{dt}=\vec{F_{L}}=q[\vec{v} \times \vec{B}]$, причем импульс частицы $\vec{p}=\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\equiv m\vec{v}$. Здесь $c$ — скорость света в вакууме $(c \approx 3 \cdot 10^8~м/с)$, величина $m_{0}$ называется $\textit{массой покоя}$ частицы, а $m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$ — $\textit{импульсной (релятивистской)}$ массой. Энергия релятивистской частицы определяется выражением $E=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}=mc^{2}$. Энергию частиц в микромире обычно измеряют в электронвольтах: $1~эВ \approx (1.6 \cdot 10^{-19}~Кл) \cdot (1~В)$. Множитель $\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$ называют «релятивистский фактор». Если скорость частицы близка к скорости света, то $\gamma \gg 1$.
1
Определите значение релятивистского фактора для электронов (у которых масса покоя $m_{0} \approx 9 \cdot 10^{-31}~кг$, $\textit{энергия покоя}$ $m_{0} c^{2} \approx 0.5~МэВ$) с энергией $E_{e} = 2.5~ГэВ$. Найдите, на сколько процентов скорость этих электронов меньше $c$. Величина заряда электрона — элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}~Кл$. Ответы дайте в виде формул и числовых значений.
2
Определите радиус кривизны траектории электронов в поле поворотного магнита синхротронного кольца, зная, что энергия электронов в кольце поддерживается на уровне $E_{e} = 2.5~ГэВ$, а индукция магнитного поля, создаваемого поворотным магнитом, равна по модулю $B = 1.7~Тл$. Электроны движутся в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля. Ответ дайте в виде формулы и числового значения.
Движущаяся с ускорением заряженная частица испускает электромагнитное излучение. Важной особенностью синхротронного излучения (т.е. излучения релятивистских частиц с $gamma \gg 1$, движущихся по криволинейной траектории) является его «прожекторный» характер: практически вся энергия излучается «вперед» по ходу движения в пределах конуса с половиной угла раствора $\varphi \approx \frac{1}{\gamma}$ (см. рисунок ниже).
3
Пусть «наблюдатель» $O$ находится в плоскости круговой орбиты и имеет пренебрежимо малые размеры. В этом случае он регистрирует всплески излучения, соответствующие интервалам времени, в течение которых он находится внутри «прожекторного» конуса движущейся по орбите частицы. Найдите длину $\Delta l$ участка орбиты, при прохождении которого электрон продуцирует излучение, попадающее к наблюдателю. Энергия электрона и индукция магнитного поля соответствуют п. $2$. Ответ дайте в виде формулы.
Таким образом, излучение релятивистской частицы, движущейся по участку круговой траектории, наблюдается в виде яркой короткой вспышки некоторой длительности. Спектр излучения (набор излучаемых частот и длин волн) такой вспышки оказывается очень широким: ширина частотного диапазона соответствует «характеристической» (или «синхротронной») частоте $\omega_{sr} \approx \frac{2 \pi}{T_{sr}}$. Получение излучения в широком диапазоне длин волн создает замечательные возможности для использования синхротронного излучения в рентгенографии. Важной величиной для практических приложений является характеристическая длина волны излучения используемой установки.
Для определения структуры кристаллических материалов основным методом является $\textit{рентгеновская дифракция}$. Излучение дифрагирует (упруго рассеивается) на атомах вещества. Для рентгеновского излучения кристалл служит аналогом $\textit{дифракционной решетки}$, так как длина волны излучения по порядку величины совпадает с межплоскостными расстояниями в кристалле. Поэтому, когда излучение падает на кристалл под некоторым углом, отраженное излучение регистрируется не только в направлении, определяемом законами геометрической оптики, но и под углами, для которых волны, отраженные от соседних плоскостей решетки, имеют разность хода, равную целому числу длин волны излучения. При выполнении этого условия сложение таких волн в удаленном детекторе приводит к взаимному усилению, в соответствующем направлении мы наблюдаем существенное увеличение интенсивности излучения ($\textit{дифракционные максимумы}$).
6
Исходя из условия образования максимумов, выведите условие наблюдения дифракционных максимумов рентгеновского излучения, отражаемого от кристалла, решетка которого состоит из одного семейства параллельных плоскостей. Излучение падает под углом $\theta$ к плоскостям, расстояние между соседними плоскостями равно $d$ (см. рисунок ниже). Ответ дайте в виде формулы.
В реальной кристаллической структуре можно выделить не одно, а несколько семейств периодически расположенных параллельных плоскостей. Задать положение такого семейства плоскостей можно с помощью вектора, перпендикулярного этим плоскостям, а направления дифракционных максимумов, соответствующие условию из вопроса $6$, — углом дифракции $2\theta$ (это угол между падающим и дифрагированным пучками). В дальнейшем наблюдаемый максимум заданного порядка для одного из возможных семейств параллельных областей будем называть «рефлексом». Так как все атомные плоскости обязательно проходят через узлы кристаллической решетки, то координаты вектора, перпендикулярного семейству плоскостей, в системе координат, оси которой направлены вдоль ребер кристаллической решетки, а единицы измерения соответствуют периоду решетки, выражаются целыми числами $\vec{K}=(h, k, l)$. Таким образом, рефлекс можно задать набором трех целых чисел $(hkl)$.
Очень интересным объектом для современного материаловедения являются сверхпроводники. Один из самых распространенных и широко используемых низкотемпературных сверхпроводников — станнит триниобия $Nb_{3}Sn$. Этот сверхпроводник, например, используется в электрических цепях Большого Адронного Коллайдера. Элементарной ячейкой этой структуры (то есть такой, что трансляцией ячейки на период решетки можно построить структуру всего кристалла) является куб с ребром $L = 5.29~\mathring{A}$ ($1~\mathring{A} = 10^{-8}~см$).
Если ввести декартову систему координат, оси которой соотнесены с ребрами кристаллической структуры, то координаты позиций атомов $Sn$ в структуре (в единицах $d$) будут следующими: (0; 0; 0), (0,5; 0,5; 0,5), а координаты позиций атомов $Nb$: (0,25; 0; 0,5), (0,75; 0; 0,5), (0,5; 0,25; 0), (0,5; 0,75; 0), (0; 0,5; 0,25), (0; 0,5; 0,75) – см. рисунок выше. На рисунке атомные позиции в элементарной ячейке занумерованы от $1$ до $8$ — в той последовательности, в которой они перечислены в тексте. Картина рассеяния рентгеновских лучей определяется распределением электронов в решетке кристалла (электроны значительно легче ядер, и сильнее реагируют на электромагнитное поле падающей волны), то есть расположением атомов различных элементов. Способность изолированного атома определенного химического элемента $A$ рассеивать излучение характеризуется величиной $f(A)$, называемой $\textit{атомным фактором рассеяния}$. Эта величина характеризует отличие рассеяния волны на электронной оболочке данного атома от рассеяния на свободных несвязанных электронах. Эта величина является комплексной (то есть $f=\alpha+i \beta$, где $i \equiv \sqrt{-1}$ — мнимая единица), и квадрат ее модуля $|f|^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}$ определяет интенсивность рассеянного излучения для изолированного атома. Интенсивность наблюдаемого дифракционного пика для кристаллической структуры вычисляется как квадрат модуля $\textit{структурного фактора рефлекса}$ $I \approx |F|^{2}$, который, в свою очередь, вычисляется по формуле:
$$
F=\sum^{}_{n} {a_n} (A) \cdot f(A) \cdot e^{2\pi i (hx+ky+lz)},
$$
где суммирование проводится по всем позициям атомов в элементарной ячейке кристалла. Здесь $(x, y, z)$ — координаты атома, который находится в $n$-ой позиции; $f(A)$ — атомный фактор рассеяния элемента $А$, атом которого находится в $n$-ой позиции; $a_n (A)$ — $\textit{заселенность}$ позиции определенным элементом. Заселенность позиции — это среднее (по всей структуре) количество атомов данного элемента на этой позиции. В идеальных условиях (то есть когда все атомы в структуре находятся в точности на своих позициях) на каждой из позиций находится ровно один атом нужного элемента, и нет атомов «ненужных» элементов, то есть все заселенности равны $1$ или $0$. Например, в описанной выше структуре $Nb_{3}Sn$ для $1$-й позиции: $a_{1}(Sn)=1$, а $a_{1}(Nb)=0$. Однако в реальных структурах возможно образование дефектов, искажающих эту картину, и тогда заселенности могут принимать другое значение. Одним из самых распространенных типов таких дефектов, является так называемое $\textit{антиузельное разупорядочение}$, когда атомы меняются позициями. Например, если в части ячеек атомы $Sn$ с позиции $1$ перейдут на позицию $3$, а атомы $Nb$ в этих ячейках — с позиции $3$ на позицию $1$, то $a_{1}(Sn)$ станет меньше $1$, а $a_{1}(Nb)$ станет отлична от нуля. При этом суммарная заселенность любой позиции остается равна $1$, т.е. все атомы, покинувшие свою позицию, переходят на позицию другого элемента и наоборот.
8
Пусть в исследуемой структуре из-за антиузельного разупорядочения заселенность позиций $Nb$ атомами $Sn$ стала равна $\delta$, то есть
$$
a_{3}(Sn)=a_{4}(Sn)=a_{5}(Sn)=a_{6}(Sn)=a_{7}(Sn)=a_{8}(Sn)=\delta.
$$
Найдите все остальные заселенности $a_{n}(A)$ в структуре. Для позиций с $n = 1$ и $n = 2$ заселенности атомами любого элемента одинаковы, как и для позиций с $n = 3$, … , $8$. Ответы выразите через $\delta$.
9
Считая $f(Nb) \equiv f_{I}$ и $f(Sn) \equiv f_{II}$ известными, вычислите структурный фактор рефлекса (110), используя заселенности, найденные в п. $8$. Ответы дайте в виде формул.
$\textit{Указание}$: в соответствии с формулой Эйлера экспонента с мнимым показателем вычисляется как $e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \cdot \sin \varphi$.