Введение

Активные ядра галактик (АЯГ) состоят из сверхмассивных черных дыр в центре и излучают большое количество энергии и частиц. Одной из их особенностей являются джеты, которые можно наблюдать с помощью электромагнитных волн, в том числе регистрируя рентгеновское излучение. Джеты (релятивистские струи) представляют собой потоки релятивисткой плазмы, длиной порядка $10^{20}~м$, то есть десятки тысяч световых лет. Рентгеновское излучение джетов объясняется синхротронным излучением релятивистских электронов прецессирующих в магнитном поле джета.

Часть A. Модель джета как 1D (одномерное) течение жидкости (3.8 балла)

Джет можно описать так. Поток частиц является установившимся и направлен радиально от центра АЯГ. Поэтому его можно считать одномерным. Плазма находится в механическом равновесии с окружением. Предполагается, что джет набирает массу за счет того, что звезды внутри него теряют массу и отдают её джету.

Джет удобно описывать следующими параметрами: расстояние вдоль струи от АЯГ до некоторой точки $s$, и радиус струи в этой плоскости $r$ (рис. 2). Расстояния измеряются в парсеках, где $1~\text{pc}=3.086\cdot 10^{16}~м$. Скорость потока джета направлена только вдоль струи и является функцией только $s$. Плазма джета состоит из электронов, протонов и некоторых заряженных ядер. Средняя энергия одной частицы в системе отсчета, которая движется вместе с некоторым рассматриваемым местом в джете (далее система отсчета джета), равна $\epsilon_\text{av}=\mu_\text{pp}c^2 + h$, Слагаемое $h$ включает в себя всю тепловую кинетическую энергию и потенциальную энергию. Слагаемое $h$ зависит от давления $P$ и концентрации частиц плазмы $n$.

Звезды, которые находятся в джете, теряют часть своей атмосферы. В результате, в джет в единицу объема за единицу времени инжектируется масса $\alpha$, которая находится в покое относительно АЯГ.

Данная модель может быть применена к джету Centaurus A. Полная мощность переносимая джетом равна $P_\text{j} = 1\cdot 10^{36}\ \rm{Дж}\cdot \rm{с}^{-1}$. На рисунке 2 показана схема джета и указаны числовые значения его параметров. $s_1$ координата начала джета, $s_2$ координата конца джета. Средняя масса частицы джета равна $\mu_\text{pp} = 0.59 m_\text{p}$, а $h=\frac{13}{4}P/n$. Давление в плазме окружающей джет равно $$P(s) = 5.7 \cdot 10^{-12} \left(\frac{s}{s_0}\right)^{-1.5} \ \rm{Па},$$ где $s_0=1\ \text{kpc}$.

В некоторой точке $s$ джет описывается следующими параметрами, каждый зависит от расстояния:

• радиус джета $r(s)$ в системе отсчета АЯГ,
  
• площадь поперечного сечения $A(s)$ в системе отсчета АЯГ,
  
• скорость течения джета $v(s)$ в системе отсчета АЯГ,
  
• гамма-фактор джета $\gamma(s)$ в системе отсчета АЯГ,
  
• концентрация частиц джета $n(s)$ в системе отсчета джета.
  

В пунктах А1-4
считайте, что эти параметры известны.

A1 Найдите концентрацию частиц в системе отсчета АЯГ $n'(s)$, через концентрацию частиц в системе отсчета джета $n(s)$ и другие параметры. Система отсчета джета в каждой точке движется с той же скоростью, что и джет в этой точке.

A2 Найдите количество частиц в единицу времени $F_p(s)$, которые пересекают сечение джета площадью $A(s)$ на расстоянии $s$ от АЯГ.

A3 Запишите уравнение непрерывности для количества частиц, втекающих и вытекающих из джета, через параметры $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$, и другие необходимые параметры.

A4 Запишите соотношение для энергий за единицу времени, втекающей и вытекающей из джета. Выразите эти величины через скорости джета, площади поперечного сечения, концентрации в системе отсчета джета в точках $s_1$ и $s_2$, полный объём джета $V$ и другие необходимые параметры.

Мощность, переносимая джетом определяется как сумма всей кинетической энергии потока и полной тепловой энергии потока, поэтому: $$P_{\text j}(s)=F_{\text E}(s) - \dot{M}c^2,$$ где $F_{\text E}(s)$ — количество энергии за единицу времени, переносимой джетом через некоторое сечение в точке $s$, и $\dot{M}$ — масса, переносимая джетом через некоторое сечение на расстоянии $s$ от АЯГ.

A5 Используйте ответы предыдущих частей и найдите $\mathrm{d}P_\text{j}/\mathrm{d}s$.

A6 Вычислите $\dot{M}_1$в точке $s_1$, и $\dot{M}_2$ в точке $s_2$,

A7 Найдите выражения для величины импульса переносимого за единицу времени $\Pi$, через сечение джета Centaurus A. Также вычислите эту величину.

A8 Найдите и вычислите силу $F_{\text{Pr}}$, действующую на джет и возникающую из-за внешнего давления.

A9 Запишите ожидаемое соотношение между $\Pi$ и $F_{\text{Pr}}$.

Также вычислите разницу (в процентах) между значением $\Pi$ из A7
и ожидаемым значением.

Часть B. Газ ультрарелятивистских электронов (2.2 балла)

Рассмотрим газ ультрарелятивистских электронов ($\gamma\gg 1$), с изотропным распределением скоростей (не зависят от направления). Концентрация частиц с энергиями в интервале от $\epsilon$ до $\epsilon + \mathrm{d}\epsilon$ равна $f(\epsilon) \ \mathrm{d}\epsilon$, где $\epsilon$ — энергия одной частицы. Площадь стенки, с которой взаимодействует газ, равна $\Delta A$.

B1 Запишите в виде интеграла выражение для полной энергии единицы объёма для газа электронов.

B2 Найдите выражение скорости изменения z-компоненты (перпендикулярной стенке) импульса $\Delta p_\text{z}/\Delta t$ всех частиц газа ударившихся о стенку.

B3 Выведите уравнение состояния для газа ультрарелятивистских электронов, связывающее давление, объём и полную внутреннюю энергию.

B4 Выведите связь между давлением и объёмом для адиабатического процесса над ультрарелятивистским газом.

Часть C. Синхротронное излучение (1.7 балла)

В джетах из АЯГ содержится много высокоэнергетических электронов, которые в сильных магнитных полях излучают. Эти электроны можно считать ультрарелятивистскими: $\gamma\gg 1$.

C1 Найдите выражение для угловой скорости прецессии $\Omega$ электрона с гамма-фактором $\gamma$. Угол между магнитным полем $B$ и направлением движения электрона $\phi$.

Так как электрон в магнитном поле движется ускоренно, он излучает электромагнитные волны. В системе, сопутствующей системе отсчета, которая движется с текущей скоростью электрона, нет выделенного направления для излучения. Однако, в системе отсчета наблюдателя ультрарелятивистские $\gamma \gg 1$ электроны в основном излучают вперёд в конус с $\theta \lesssim 1/\gamma$ (то есть, угол раствора конуса $2/\gamma$). Так как электрон прецессирует в магнитном поле, наблюдатель будет фиксировать только короткие вспышки излучения, так как линия наблюдения иногда оказывается в конусе.

C2 Найдите продолжительность вспышек $\Delta t$ синхротронного излучения, которые увидит наблюдатель. Гамма-фактор электрона $\gamma$, угол между магнитным полем и направлением движения электрона $\phi$.

C3 Отсюда оцените характерную частоту $\nu_{\text{chr}}$ синхротронной вспышки.

Полная мощность синхротронного излучения: $$P_\text{s}=\frac{1}{6\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^4 B^2 \sin^2\phi}{m^4c^5}\right) E^2.$$

C4 Оцените время $\tau$ за которое электрон с энергией $E$ потеряет свою энергию. Процесс называется синхротронным охлаждением.

Часть D. Синхротронное излучение АЯГ джета (2.3 балла)

Обычно распределение электронов по энергии в джете описывается степенным законом вида $f(\epsilon)=\kappa \epsilon^{-p}$, где $f(\epsilon) \ \mathrm{d}\epsilon$ — концентрация частиц с энергией в интервале от $\epsilon$ до $\epsilon + \mathrm{d}\epsilon$. Соответствующий спектр синхротронного излучения зависит от распределения энергии электронов, а не от спектра для отдельного электрона. Этот спектр таков:$$j(\nu)d\nu \propto B^{(1+p)/2} \nu^{(1-p)/2}\ \mathrm{d}\nu.$$ Здесь $j(\nu)\ \mathrm{d}\nu$ плотность излученной энергии фотонов в диапазоне частот от $\nu$ до $\nu+\mathrm{d}\nu$.

Наблюдение джета Centaurus A и других показало структуру с характерными яркими областями, названных узлами. Наблюдение этих узлов в течении долгого времени показало как их перемещение, так и изменение яркости. Уменьшение яркости происходит либо из-за адиабатического расширения газа в узлах, либо синхротронного охлаждения электронов в узлах.

Рассмотрим произвольный объём плазмы. Считайте, что магнитный поток через поверхность границы объёма остаётся постоянным, даже если объём изменил форму или размер.

D1 Сферический узел изотропно расширяется от объёма $V_0$ до объёма $V$. Начальное магнитное поле однородно и равно $B_0$. найдите магнитное поле $B$ в расширившемся узле.

D2 Найдите$f(\epsilon)$, распределение электронов по энергиям, после адиабатического расширения сферического узла до объёма $V$. Считайте, что при объёме $V_0$ начальное распределение электронов по энергиям $f_0(\epsilon)=\kappa_0 \epsilon^{-p}$, где $f_0(\epsilon)\ \mathrm{d}\epsilon$ — есть концентрация электронов с энергией в диапазоне от $\epsilon$ до $\epsilon + \mathrm{d}\epsilon$.

D3 Рассмотрим как синхротронное охлаждение повлияет на распределение электронов. Рассмотрим распределение электронов по энергиям как функцию энергии $\epsilon$. Как изменится функция спустя некоторое время синхротронного охлаждения? Станет ли она более пологой, крутой, или не изменится? Поясните свой ответ, рассмотрев два электрона с энергиями $\epsilon_1<\epsilon_2$.

Таблица с данными наблюдений узлов (темных точек) в джетах двух АЯГ Centaurus A (Cen A) и M87

D4 В таблице листа ответов укажите, какая причина наиболее вероятна для уменьшения яркости каждого узла. Также укажите, на основе какого такого пункта задачи вы сделали вывод?