Гантель, сделанная из двух маленьких массивных шариков и легкого жесткого стержня, удерживается в вертикальном положении так, что нижний (более легкий) шарик находится на горизонтальной шероховатой поверхности. Массы шариков отличаются в $1.5$ раза. Гантель аккуратно отпускают, и она начинает падать. Сопротивление воздуха при этом отсутствует. Нижний шарик начинает скользить по поверхности, когда угол отклонения стержня от вертикали достигает величины $\alpha_{1}=30^{\circ}$.
Все ответы приведите с точностью до сотых долей.
Представим себе опыт, в ходе которого маленькая тяжелая шайба соскальзывает сверху вниз по пластиковому желобу без начальной скорости. Желоб состоит из трех участков – наклонного прямолинейного, горизонтального прямолинейного и участка сопряжения, который обеспечивает плавное соединение первых двух участков друг с другом. Участок сопряжения представляет собой цилиндрическую поверхность (см. рисунок).
Радиус кривизны этой поверхности намного меньше начальной высоты $h$ шайбы, но намного больше размеров шайбы, и не зависит от $\alpha$. Оказалось, что при углах наклона $\alpha \leq \alpha_{c}=30^{\circ}$ шайба остается неподвижной на наклонной части желоба. При $\alpha=60^{\circ}$ и запуске шайбы с некоторой начальной высоты $h$ длина ее тормозного пути на горизонтальном участке равна $s=102~см$.
В глубокой скальной расщелине шириной $d=4~м$ с параллельными отвесными стенками застряло прямое однородное бревно, удерживающееся благодаря трению. Один его конец находится у самого верхнего края одной из стенок, второй – на $h=0.9~м$ ниже. Бревно располагается в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенам расщелины. Масса бревна $m=80~кг$. Коэффициент трения между концами бревна и стенами расщелины равен $\mu=0.9$. Рассмотрим две разные истории.
Турист $1$, масса которого (вместе с рюкзаком) $M=120~кг$, решил перебраться через расщелину по этому бревну. Когда он встал на верхний конец бревна, тот совсем чуть-чуть проскользнул вниз, но бревно удержалось.
Турист $2$, масса которого (вместе с рюкзаком) $M=120~кг$, решил перебраться через расщелину по другому бревну с такими же параметрами. Когда он аккуратно слез с края расщелины и встал на нижний конец бревна, тот совсем чуть-чуть проскользнул вниз, но бревно удержалось.
Будем считать, что изгибом бревна в обоих случаях можно пренебречь.
В качестве ответа запишите формулу, в которую входят только величины, заданные в условии задачи, и численное значение в метрах, с точностью до сотых долей.
В более реалистичной модели бревно может изогнуться. Рассмотрим переправу того из туристов, у которого она будет успешной.
Плотность дерева $\rho=630~кг/м^{3}$, модуль Юнга для сжатия бревна вдоль волокон $E=10^{10}~Па$, сдвиговые деформации пренебрежимо малы, диаметр бревна практически постоянен, ускорение свободного падения $g \approx 10~м/с^{2}$.