Часть 1: Невозможное трение

Гантель, сделанная из двух маленьких массивных шариков и легкого жесткого стержня, удерживается в вертикальном положении так, что нижний (более легкий) шарик находится на горизонтальной шероховатой поверхности. Массы шариков отличаются в $1.5$ раза. Гантель аккуратно отпускают, и она начинает падать. Сопротивление воздуха при этом отсутствует. Нижний шарик начинает скользить по поверхности, когда угол отклонения стержня от вертикали достигает величины $\alpha_{1}=30^{\circ}$.

1.1  ^0.70 Найдите коэффициент сухого трения $\mu_{1}$ между нижним шариком и поверхностью.

1.2  ^1.30 Какими должны быть коэффициенты трения ($\mu_{2}$ и $\mu_{3}$), чтобы скольжение нижнего шарика началось при углах отклонения стержня от вертикали $\alpha_{2}=45^{\circ}$ и $\alpha_{3}=60^{\circ}$?
Все ответы приведите с точностью до сотых долей.

1.3  ^0.70 Найдите (в градусах, с точностью до десятых долей) самый большой угол отклонения стержня от вертикали, при котором в такой системе может начаться скольжение нижнего шарика (то есть, если скольжение не начнется до этого угла, то оно уже не начнется вплоть до момента падения верхнего шарика на поверхность).

Часть 2: Трение на перегибе

Представим себе опыт, в ходе которого маленькая тяжелая шайба соскальзывает сверху вниз по пластиковому желобу без начальной скорости. Желоб состоит из трех участков — наклонного прямолинейного, горизонтального прямолинейного и участка сопряжения, который обеспечивает плавное соединение первых двух участков друг с другом. Участок сопряжения представляет собой цилиндрическую поверхность (см. рисунок).

Радиус кривизны этой поверхности намного меньше начальной высоты $h$ шайбы, но намного больше размеров шайбы, и не зависит от $\alpha$. Оказалось, что при углах наклона $\alpha \leq \alpha_{c}=30^{\circ}$ шайба остается неподвижной на наклонной части желоба. При $\alpha=60^{\circ}$ и запуске шайбы с некоторой начальной высоты $h$ длина ее тормозного пути на горизонтальном участке равна $s=102~см$.

2.1  ^2.00 Найдите длину тормозного пути при запуске шайбы с высоты $h^{'}=2h$ при $\alpha^{'}=45^{\circ}$ (ответ выразите в сантиметрах).

2.2  ^0.70 Оцените (в процентах) точность полученного результата в случае, если радиус кривизны участка сопряжения равен $7~см$. Считайте, что коэффициент сухого трения шайбы о желоб всюду одинаков.

Часть 3: Переправа «на трении»

В глубокой скальной расщелине шириной $d=4~м$ с параллельными отвесными стенками застряло прямое однородное бревно, удерживающееся благодаря трению. Один его конец находится у самого верхнего края одной из стенок, второй — на $h=0.9~м$ ниже. Бревно располагается в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенам расщелины. Масса бревна $m=80~кг$. Коэффициент трения между концами бревна и стенами расщелины равен $\mu=0.9$. Рассмотрим две разные истории.

Турист $1$, масса которого (вместе с рюкзаком) $M=120~кг$, решил перебраться через расщелину по этому бревну. Когда он встал на верхний конец бревна, тот совсем чуть-чуть проскользнул вниз, но бревно удержалось.

Турист $2$, масса которого (вместе с рюкзаком) $M=120~кг$, решил перебраться через расщелину по другому бревну с такими же параметрами. Когда он аккуратно слез с края расщелины и встал на нижний конец бревна, тот совсем чуть-чуть проскользнул вниз, но бревно удержалось.

Будем считать, что изгибом бревна в обоих случаях можно пренебречь.

3.1  ^0.70 Кто из туристов сможет дойти до конца бревна (в ответе запишите $1$ или $2$)?

3.2  ^1.70 Для того из туристов, которому нельзя идти по бревну, определите, на каком расстоянии $x$ от стены расщелины, от которой он идет, будет находиться этот турист в тот момент, когда он вместе с бревном упадет в расщелину (если всё же пойдет)?
В качестве ответа запишите формулу, в которую входят только величины, заданные в условии задачи, и численное значение в метрах, с точностью до сотых долей.

В более реалистичной модели бревно может изогнуться. Рассмотрим переправу того из туристов, у которого она будет успешной.

3.3  ^1.70 Оцените средний радиус изгиба бревна в тот момент, когда турист будет находиться точно на его середине (в ответе запишите формулу, в которую входят только заданные в условии задачи величины, и дайте численное значение в метрах).

3.4  ^0.50 Как влияет изгиб бревна на опасность падения (увеличивает — $1$, уменьшает — $2$, не влияет — $0$)?

Плотность дерева $\rho=630~кг/м^{3}$, модуль Юнга для сжатия бревна вдоль волокон $E=10^{10}~Па$, сдвиговые деформации пренебрежимо малы, диаметр бревна практически постоянен, ускорение свободного падения $g \approx 10~м/с^{2}$.