Часть 1. Невозможное трение

Гантель, сделанная из двух маленьких массивных шариков и легкого жесткого стержня, удерживается в вертикальном положении так, что нижний (более легкий) шарик находится на горизонтальной шероховатой поверхности. Массы шариков отличаются в $1.5$ раза. Гантель аккуратно отпускают, и она начинает падать. Сопротивление воздуха при этом отсутствует. Нижний шарик начинает скользить по поверхности, когда угол отклонения стержня от вертикали достигает величины $\alpha_{1}=30^{\circ}$.

1.1  ^0.70 Найдите коэффициент сухого трения $\mu_{1}$ между нижним шариком и поверхностью.

1.2  ^1.30 Какими должны быть коэффициенты трения ($\mu_{2}$ и $\mu_{3}$), чтобы скольжение нижнего шарика началось при углах отклонения стержня от вертикали $\alpha_{2}=45^{\circ}$ и $\alpha_{3}=60^{\circ}$?
Все ответы приведите с точностью до сотых долей.

1.3  ^0.70 Найдите (в градусах, с точностью до десятых долей) самый большой угол отклонения стержня от вертикали, при котором в такой системе может начаться скольжение нижнего шарика (то есть, если скольжение не начнется до этого угла, то оно уже не начнется вплоть до момента падения верхнего шарика на поверхность).

Часть 2. Трение на перегибе

Представим себе опыт, в ходе которого маленькая тяжелая шайба соскальзывает сверху вниз по пластиковому желобу без начальной скорости. Желоб состоит из трех участков — наклонного прямолинейного, горизонтального прямолинейного и участка сопряжения, который обеспечивает плавное соединение первых двух участков друг с другом. Участок сопряжения представляет собой цилиндрическую поверхность (см. рисунок).

Радиус кривизны этой поверхности намного меньше начальной высоты $h$ шайбы, но намного больше размеров шайбы, и не зависит от $\alpha$. Оказалось, что при углах наклона $\alpha \leq \alpha_{c}=30^{\circ}$ шайба остается неподвижной на наклонной части желоба. При $\alpha=60^{\circ}$ и запуске шайбы с некоторой начальной высоты $h$ длина ее тормозного пути на горизонтальном участке равна $s=102~см$.

2.1  ^2.00 Найдите длину тормозного пути при запуске шайбы с высоты $h{'}=2h$ при $\alpha{'}=45^{\circ}$ (ответ выразите в сантиметрах).

2.2  ^0.70 Оцените (в процентах) точность полученного результата в случае, если радиус кривизны участка сопряжения равен $7~см$. Считайте, что коэффициент сухого трения шайбы о желоб всюду одинаков.

Часть 3. Переправа «на трении»

В глубокой скальной расщелине шириной $d=4~м$ с параллельными отвесными стенками застряло прямое однородное бревно, удерживающееся благодаря трению. Один его конец находится у самого верхнего края одной из стенок, второй — на $h=0.9~м$ ниже. Бревно располагается в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенам расщелины. Масса бревна $m=80~кг$. Коэффициент трения между концами бревна и стенами расщелины равен $\mu=0.9$. Рассмотрим две разные истории.

Турист $1$, масса которого (вместе с рюкзаком) $M=120~кг$, решил перебраться через расщелину по этому бревну. Когда он встал на верхний конец бревна, тот совсем чуть-чуть проскользнул вниз, но бревно удержалось.

Турист $2$, масса которого (вместе с рюкзаком) $M=120~кг$, решил перебраться через расщелину по другому бревну с такими же параметрами. Когда он аккуратно слез с края расщелины и встал на нижний конец бревна, тот совсем чуть-чуть проскользнул вниз, но бревно удержалось.

Будем считать, что изгибом бревна в обоих случаях можно пренебречь.

3.1  ^0.70 Кто из туристов сможет дойти до конца бревна (в ответе запишите $1$ или $2$)?

3.2  ^1.70 Для того из туристов, которому нельзя идти по бревну, определите, на каком расстоянии $x$ от стены расщелины, от которой он идет, будет находиться этот турист в тот момент, когда он вместе с бревном упадет в расщелину (если всё же пойдет)?

В качестве ответа запишите формулу, в которую входят только величины, заданные в условии задачи, и численное значение в метрах, с точностью до сотых долей.

В более реалистичной модели бревно может изогнуться. Рассмотрим переправу того из туристов, у которого она будет успешной.

3.3  ^1.70 Оцените средний радиус изгиба бревна в тот момент, когда турист будет находиться точно на его середине (в ответе запишите формулу, в которую входят только заданные в условии задачи величины, и дайте численное значение в метрах).

3.4  ^0.50 Как влияет изгиб бревна на опасность падения (увеличивает — $1$, уменьшает — $2$, не влияет — $0$)?

Плотность дерева $\rho=630~кг/м^{3}$, модуль Юнга для сжатия бревна вдоль волокон $E=10^{10}~Па$, сдвиговые деформации пренебрежимо малы, диаметр бревна практически постоянен, ускорение свободного падения $g \approx 10~м/с^{2}$.