Интерферометр Фабри-Перо (рис. 1) состоит из двух стеклянных пластин с высоко-отражающими покрытиями внутренних сторон, параллельных друг другу. В пространстве между пластинами свет может многократно переотражаться. Внешние стороны пластин не вполне параллельны внутренним, отражением от них можно пренебречь. Интерферометр можно использовать, например, для измерения плотности воздуха, который в него нагнетают. Свет от натриевой лампы, расположенной в фокусе линзы (коллиматоре), проходит через интерферометр. Пропускная способность интерферометра для пучка параллельных лучей:
\begin{equation*}
T = \frac{1}{1 + F \sin^2 (\frac{\delta}{2})},
\end{equation*}
где $F = \frac{4R}{(1-R)^2}$, $R$ – коэффициент отражения внутренних поверхностей, $\delta = \frac{4 \pi n t \cos \theta}{\lambda}$, $n$ – коэффициент преломления воздуха в интерферометре, $t$ – расстояние между отражающими поверхностями, $\theta$ – расстояние между отражающими поверхностями, $\lambda$ – длина волны.

Натриевая лампа испускает две спектральные линии D1 ($\lambda = 589.6$ нм) и D2 ($\lambda = 589.0$ нм) и расположена между полюсами электромагнита, который вначале выключен. Оптический фильтр F1 пропускает только линию D1. В микроскоп, настроенный на фокальную плоскость линзы L2, фокусное расстояние которой $f = 30$ см, наблюдаются интерференционные кольца. Положим коэффициент отражения $R = 90 \%$ и расстояние $t = 10$ мм.
Физические константы: $h = 6.626 \cdot 10^{-34} Дж \cdot с$, $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл, $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг, $c = 3.0 \cdot 10^8$ м/c.

A1 Рассчитайте для линии D1 ($\lambda = 589.6$ нм) в случае вакуума ($n = 1.0$) порядок интерференции $m_i$, угол падения $\theta_i$ и диаметр $D_i$ для первых трёх светлых колец $i$ = 1, 2, 3.

A2 Как показано на рис. 2, ширина $\varepsilon$ спектральной линии определяется на половине высоты графика зависимости пропускающей способности от фазового сдвига $\delta$. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо определяется так: cпектральные линии $\lambda$ и $\lambda + \Delta \lambda$ считаются разрешёнными, если разница $\Delta \delta$ между фазовыми сдвигами, соответствующих максимумам спектральных линий, больше $\varepsilon$ (рис. 2). Таким образом разрешающая способность интерферометра равна $\lambda/\Delta \lambda$ при $\Delta \delta = \varepsilon$. Для вакуумированного интерферометра, линии D1 ($\lambda = 589.6$ нм) и угла падения $\theta = 0$ рассчитайте ширину спектрально линии $\varepsilon$ и разрешающую способность $\lambda/\Delta \lambda$ интерферометра.

A3 Пусть в начальный момент давление воздуха в интерферометре равно нулю, т.е. между пластинами интерферометра вакуум ($n = 1.0$). Вентиль (рис. 1) медленно открывают, и воздух постепенно заполняет интерферометр, достигая в итоге атмосферного давления. При этом из центра фокальной плоскости линзы L2 «вырастают» 10 новых интерференционных колец. Основываясь на этом факте, рассчитайте коэффициент преломления воздуха $n_{air}$ при атмосферном давлении.

В магнитном поле уровни энергии атома натрия расщепляются. Это явление называется эффектом Зеемана. Сдвиг уровня энергии:
\begin{equation*}
\Delta E = m_j g_k \mu_B B,
\end{equation*}где магнитное квантовое число $m_j$ может принимать значения $J$, $J-1$, ..., $-J+1$, $-J$, ($J$ –- орбитальное квантовое число), $g_k$ –- множитель Ландау, $\mu_B = \frac{h e}{4 \pi m_e}$, $h$ –- постоянная Планка, $e$ –- элементарный заряд, $m_e$ -– масса электрона, $B$ – индукция магнитного поля. Как показано на рис. 3, линия D1 излучается при переходе атома натрия с уровня $^2$P$_{1/2}$ на $^2$S$_{1/2}$, для которых $J = 1/2$. Таким образом, в магнитном поле каждый из уровней расщепляется на два подуровня (рис. 3). Обозначим расстояния между расщепившимися подуровнями энергий $\Delta E_1$ для уровня $^2$P$_{1/2}$ и $\Delta E_2$ для уровня $^2$S$_{1/2}$ ($\Delta E_1 < \Delta E_2$). В результате линия D1 расщепляется на 4 спектральных линии (a, b, c, d) как показано на рис. 3.

A4 Запишите выражения для частот ($\nu$) всех четырёх линий.

A5 После включения магнитного поля, каждое интерференционное кольцо линии D1 расщепляется на 4 кольца: 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4). Диаметры колец, произошедших от самого маленького интерференционного кольца, равны $D_1$, $D_2$, $D_3$ и $D_4$. Получите выражения для расстояний между подуровнями $\Delta E_1$ уровня $^2$P$_{1/2}$ и $\Delta E_2$ уровня $^2$S$_{1/2}$.

A6 Для магнитного поля $B = 0.1$ Тл, диаметры расщепившихся колец равны:
$D_1 = 3.88$ мм, $D_2 = 4.05$ мм, $D_3 = 4.35$ мм, $D_4 = 4.51$ мм.
Рассчитайте множители Ландау $g_{k1}$ для уровня $^2$P$_{1/2}$ и $g_{k2}$ для уровня $^2$S$_{1/2}$.

A7 Магнитное поле солнца можно определить по измерению расщеплению Зеемана натриевой линии D1 солнца. При наблюдении спектра солнца было установлено, что разница длин волн между самой коротковолновой и самой длинноволновой линиями в расщеплении равна $0.012$ нм. Определите магнитное поле $B$ солнца.

A8 Излучение полупроводникового лазера с длиной волны $\lambda = 650$ нм и спектральной шириной $\Delta \lambda = 20$ нм попадает в вакуумированный интерферометр Фабри-Перо под углом $\theta = 0$. Рассчитайте количество спектральных линий и их спектральную ширину $\Delta \nu$ на выходе из интерферометра.