Часть A. Поверхностные волны

В 2021 году в Японии наблюдалось больше количество цунами – огромных волн, вызванных землетрясениями. Структура цунами имеет свойства, отличные от обычных волн. В этой задаче мы исследуем эти свойства подробно.
Обычные волны бывают продольными (например, звук) или поперечными (волны в струне, электромагнитные волны). Поверхностные волны в воде, однако же, устроены сложнее – в них происходит как продольное, так и поперечное перемещение жидкости. Основным параметром, служащим для определения свойств поверхностной волны, является отношение длины волны $\lambda$ и глубины жидкости $d$. Мы будем исследовать мелкие волны на мелкой воде, т.е. волны, амплитуда $h$ которых удовлетворяет сильному неравенству:\[\lambda\gg d\gg h.\]Для большого океанического цунами $\lambda > 100~км$, глубина океана $d < 11~км$, а амплитуда волны $h < 100~м$, т.е. приведённое неравенство выполняется.

Движение жидкости в мелководных волнах представляет собой колебательное движение, происходящее практически параллельно дну. Как показано на рисунке 1, вода на гребне волны движется со скоростью $V$, а вода во впадине волны – со скоростью $-V$. Сама волна при этом движется со скоростью $c\gg V$. Ось, вдоль которой движется волна, обозначим как $x$, а вертикальную ось обозначим $z$. Дно соответствует $z=-d$, а поверхность воды – в среднем $z=0$. Движением жидкости вдоль оси $z$ в рассматриваемой модели пренебрежём.
Перейдём в систему координат, движущуюся вместе с волной со скоростью $c$, как показано на рисунке 2. В этот системе координат положение и форма волны не меняются. Пусть координаты впадины волны в этой системе координат равны $(x_1,-h)$, а координаты гребня – $(x_2,+h)$.

Рассмотрим небольшую массы воды $\Delta m$, движущуюся непосредственно у поверхности.

A1 Запишите энергию этой порции воды в движущейся системе отсчёта в тот момент, когда она находится на гребне волны $(E_{+h})$ и в её впадине $(E_{-h})$.

A2 Из закона сохранения энергии получите выражение, связывающее $V$, $c$, $h$ и другие величины.
$\textit{Примечание:}$ этот же результат можно получить, применяя к жидкости уравнение Бернулли.

Пусть поперечная ширина волны равна $\delta y$.

A3 Найдите объём воды $(Q_{-h}$ и $Q_{+h})$, проходящий в единицу времени через плоскости $x=x_1$ и $x=x_2$ соответственно.

A4 Из закона сохранения массы получите $V$, выразив его через $c$, $d$ и $h$.

A5 Из результатов $\bf A2$ и $\bf A4$ получите выражение для скорости волны $c$.

Для синусоидальной волны скорость жидкости в движущейся системе отсчёта задаётся выражением:\[u(x,t)=V\sin[k(x-ct)]=V\sin(kx-\omega t).\]Здесь $V$ – амплитуда скорости, $k$ – волновое число, а $\omega$ – угловая частота. Несложно видеть, что скорость мелководной волны не зависит от её волнового числа, из-за чего при движении волна не изменяет свою форму (такое движение называют недисперсионным).

A6 Как связана высота волны $z(x,t)$ с её скоростью $u(x,t)$ в подвижной системе отсчёта?

Рассмотрим небольшую порцию жидкости $\Delta m$, координаты которой в отсутствие волны были бы равны $(x_0,0)$. В присутствии волны эта порция жидкости начинает двигаться по закону $(x_0+X(x_0,t),z(x_0,t))$, где $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}X(x_0,t)=u(x_0,t)$.

A7 Покажите, что движение порции жидкости происходит по эллипсу и найдите его большую $(a)$ и малую $(b)$ полуоси. Ответ выразите через $V$, $\omega$, $d$ и $g$.

Часть B. Цунами 1960 года

В мае 1960 у побережья Чили произошло землетрясение магнитудой $9.5$ – сильнейшее из когда-либо зарегистрированных. За следующие $23$ часа цунами от землетрясения пересекло Тихий океан и достигло берегов Японии. Поскольку Япония находится примерно в диаметрально противоположной точке Земли относительно эпицентра землетрясения, цунами образовало сходящуюся волну и усилилось, нанеся прибрежным районам заметный ущерб.
Поскольку радиус Земли велик $(R=6378~км)$, то локально задачу о распространении цунами всё ещё можно рассматривать как одномерную. Измеренный период цунами $T=\frac{2\pi}\omega\approx1$ час.

B1 Вычислите среднюю скорость цунами $c$.

B2 Найдите среднюю глубину $d$ Тихого океана, соответствующую полученному значению скорости. Ускорение свободного падения $g=9.8~\frac{м}{с^2}$.

B3 Найдите длину волны цунами $\lambda$, основываясь на данных о его периоде. Соответствует ли это мелководному приближению?

B4 Вычислите отношение $\frac ba$ малой и большой полуосей, найденных в $\bf A7$, для рассматриваемого цунами. Приведите численный ответ с одной значащей цифрой. Поясните его физический смысл.

Часть C. Поведение около берега

С1 Найдите в первом приближении средний поток энергии $\Phi$ в волне. Выразите ответ через плотность жидкости $\rho$, ускорение свободного падения $g$, глубины водоёма $d$ и амплитуды скорости жидкости $V$.
$\textit{Подсказка:}$ Поток энергии равен произведению средней поверхностной плотности энергии на скорость волны, $\Phi=\langle E\rangle c$. Плотность энергии складывается из кинетической и потенциальной частей. При усреднении $\left\langle\sin^2(\omega t-kx)\right\rangle=\frac12$.

C2 Считая поток энергии $\Phi$ постоянным, найдите зависимость высоты цунами $h$ от глубины водоёма $d$.

По прогнозам учёных, высока вероятность землетрясений в морском жёлобе Тисима, Японским и Нанкайском желобах. Рассмотрим цунами, возникшее в $200~км$ от берега. Средняя глубина воды на пути к берегу равна $1000~м$.

C3 Вычислите среднюю скорость цунами в $\frac{км}ч$.

C4 Найдите, за какое кратчайшее время $\tau$ цунами достигнет берега.

Известно, что при глубине воды $d=4000~м$ высота цунами составляет $h=1.0~м$.

C5 Найдите скорость такого цунами $c$, амплитуду колебаний скорости воды $V$ и поток энергии цунами $\Phi$ в этой части моря, если плотность морской воды $\rho=1.0\cdot10^3~\frac{кг}{м^3}$.

Если поток энергии $\Phi$ постоянен, то существует $\alpha$ такое, что $hd^\alpha=\operatorname{const}$.

C6 Найдите $\alpha$ и числовое значение $hd^\alpha$.

C7 Найдите скорость $c$, высоту волны $h$ и амплитуду скорости воды $V$, когда глубина воды достигает $400~м$; $100~м$; $25~м$.