На приведённом рисунке представлена диаграмма Герцшпрунга–Рассела, на которую нанесены звёзды в зависимости от их температуры и светимости. Большая часть звёзд на этой диаграмме выстраивается в диагональ, называемую главной последовательностью. Мы рассмотрим физические свойства звёзд главной последовательности и найдём взаимосвязь между параметрами звёзд на ней.

Примечание: На рисунке показана диаграмма Герцшпрунга–Рассела для звёзд, наблюдаемых спутником GAIA – спутником Европейского космического агентства, который измеряет характеристики около 100 миллиардов звёзд Млечного Пути.

Для численных расчётов используйте значения, приведённые в таблице ниже.

Часть A. Давление и плотность (2 балла)

В этой задаче звёзды можно считать сферически симметричными газовыми телами. Массу, заключённую в сфере радиуса $r$, обозначим как $m(r)$, плотность звезды – как $\rho(r)$.

A1  ^0.30 Выразите $\frac{\mathrm dm}{\mathrm dr}$ через $r$ и $\rho$.

В дальнейшем будет удобно именно массу $m$ будем считать независимой переменной, а $r$ и $\rho$ рассматривать, как функции от неё.

Так как звезда находится в состоянии механического равновесия, в ней гравитационное давление должно уравновешиваться давлением газа и давлением излучения. Здесь и далее при рассмотрении сил предполагаем направление от центра положительным.

A2  ^0.30 Из равенства силы тяжести и силы давления, действующих на слой вещества звезды $[r,r+\mathrm dr]$, получите выражение для производной $\frac{\mathrm dp}{\mathrm dm}$.

Определимся теперь с граничными условиями. Во-первых, $r(0)=0$ и $r(M)=R$, где $M$ и $R$ – масса и радиус звезды соответственно. Давление и плотность в центре звезды обозначим как $p(0)=p_\mathrm c$ и $\rho(0)=\rho_\mathrm c$ соответственно. На границе звезды обе эти величины исчезают, т.е. $p(M)=0$ и $\rho(M)=0$.

В качестве оценки для среднего значения производной $\frac{\mathrm dr}{\mathrm dm}$ возьмём её значение при $r$ и $\rho$, равных среднему арифметическому этих величин в центре звезды и на её поверхности.

A3  ^0.60 Используя такую оценку производной, выразите $\rho_\mathrm c$ через $M$ и $R$.

A4  ^0.60 Сделав аналогичную оценку для производной $\frac{\mathrm dp}{\mathrm dm}$, выразите $p_\mathrm c$ через $G$, $M$ и $R$.

A5  ^0.20 Вычислите $p_\mathrm c$ и $\rho_\mathrm c$ для Солнца $(M=2\cdot10^{30}~кг$ и $R=7\cdot10^8~м)$. Приведите ответы с одной значащей цифрой.

Часть B. Температура и светимость (4.5 балла)

Основным компонентом звёзд является водород. В звёздах под воздействием высокой температуры он обычно находится в диссоциированном виде – как смесь протонов $\rm H^+$ и электронов $\rm e^-$, которую для простоты можно считать идеальным газом.

B1  ^0.60 Оцените суммарную концентрацию протонов $\rm H^+$ и электронов $\rm e^-$ в центре звезды. Выразите температуру $T_\mathrm c$ в центре через $M$, $R$ и константы $G$, $k_\mathrm B$, $m_\mathrm p$.

B2  ^0.20 Вычислите $T_\mathrm c$ для Солнца. Приведите ответ с одной значащей цифрой.

Поскольку в толще звезды существует градиент температуры, то существует и поток энергии, который впоследствии излучается с поверхности. Чтобы определить результирующую светимость звезды, изучим процесс теплообмена подробнее.
Будем считать, что вся энергия в звезде переносится с помощью излучения. Рассмотрим, с какой силой излучение действует на слой газа $[r,r+\mathrm dr]$ массой $\mathrm dm$.

Ясно, что количество энергии, поглощаемое веществом звезды в единицу времени, пропорционально массе вещества. Коэффициент пропорциональности $\kappa$ носит название $\itнепрозрачности$.

B3  ^0.80 Учитывая, что поглощаемое излучение представляет собой фотоны, для которых $E=pc$, найдите силу, действующую на единицу площади рассматриваемого слоя газа. Выразите ответ через мощность излучения звезды $l(m)$ на расстоянии $r(m)$ от центра, а также $\kappa$, $\rho$, $c$, $r$ и $\mathrm dr$.

Эта же сила должна быть по определению равна взятому с противоположным знаком градиенту давления излучения $p_\mathrm{rad}=\frac a3T^4$, где $a$ – постоянная излучения (дана в таблице выше).

B4  ^0.80 Выразите производную $\frac{\mathrm dT}{\mathrm dm}$ через $l$, $r$, $T$, $\kappa$ и постоянные $a$, $c$.

Граничные условия для мощности излучения имеют вид $l(0)=0$, $l(M)=L$, где $L$ – наблюдаемая светимость звезды.

Для численной оценки производной $\frac{\mathrm dT}{\mathrm dm}$ вновь воспользуемся методом из A3–A4, подставив в полученное выражение теперь, кроме прочего, средние арифметические значений $l(m)$ и $T(m)$ в центре звезды и на её поверхности $($поскольку $T(M)\ll T(0)$, можно считать $T(M)\approx0)$, а также усреднённое значение $\langle\kappa\rangle$. 

B5  ^0.80 Выразите светимость звезды $L$ через $M$, $\langle\kappa\rangle$ и константы $a$, $c$, $G$, $k_\mathrm B$, $m_\mathrm p$.

B6  ^0.30 Вычислите $L~[Вт]$ для Солнца $\big(\langle\kappa\rangle=10^2~\frac{м^2}{кг}\big)$. Приведите ответ с одной значащей цифрой.

Если температура поверхности звезды равна $T_\mathrm e$, то её светимость $L\propto R^2T_\mathrm e^4$. Пусть радиус звезды $R$ прямо пропорционален её массе $M$. Тогда можно записать $\frac L{\langle\kappa\rangle^2}\propto T_\mathrm e^\alpha$.

B7  ^1.00 Найдите $\alpha$.

Часть C. Гелий и углерод (0.5 баллов)

На основе анализа самых старых метеоритов возраст Солнца оценивается в $4.7~млрд$ лет. Звёзды могут существовать так долго за счёт протекания в их недрах термоядерных реакций. В реакциях термоядерного синтеза из четырёх ядер водорода ${}^1\rm H$ образуется одно ядро гелия ${}^4\rm He$, а из трёх ядер гелия – одно ядро углерода ${}^{12}\rm C$. Анализ показывает, что в большей части звёзд главной последовательности заметно преобладает реакция синтеза $\rm{}^1H\to{}^4He$. Почему же так происходит?

Предположим, что светимость звезды главной последовательности представляет собой постоянную величину и не зависит от рода происходящих в ней реакций. Массы ядер ${}^1\rm H$, ${}^4\rm He$, ${}^{12}\rm C$ равны $1.008~\text{а.е.м.}$, $4.002~\text{а.е.м.}$ $12.000~\text{а.е.м.}$ соответственно.

C1  ^0.50 Найдите отношение времён, в течение которых звезда может существовать только за счёт реакции $\rm{}^1H\to{}^4He$ и только за счёт реакции $\rm{}^4He\to{}^{12}C$.