Определите сопротивление $R_{0}$ всей проволоки, из которой изготовлено кольцо.

Сопротивление всей проволоки $R_{0}$ не зависит от того, в какой именно точке мы её разрежем (все элементарные участки проволоки соединены друг с другом последовательно). Для упрощения разрежем кольцо в точке $A$, чтобы сначала найти сопротивления $\frac{R_{0}}{2}$ его двух симметричных половинок, а затем их сложить.
Поскольку удельное сопротивление проволоки изменяется по линейному закону (от угла $\varphi$ или от расстояния $l$ от точки $A$), для вычисления её сопротивления воспользуемся средним значением удельного сопротивления $\rho_{ср}=\frac{\alpha \pi}{2}$. Откуда $\frac{R_{0}}{2}=\rho_{ср}\frac{\pi r}{S}=\alpha \frac{\pi^{2}r}{2S}$, или
$$
R_{0}=\alpha \frac{\pi^{2} r}{S}. \ (1)
$$

Найдите на кольце две точки $M$ и $N$ между которыми эквивалентное сопротивление $R_{MN}$ кольца максимально при минимальном расстоянии между $M$ и $N$. Определите значение этого сопротивления $R_{\max}$ и расстояние $L$ между $M$ и $N$.

Подключим контакты к некоторым точкам $M$ и $N$ кольца.
Получившаяся цепь теперь состоит из двух участков — $MAN$ и $MBN$, соединённых параллельно, и её сопротивление $R_{MN}$ определяется соотношением:
$$
R_{MN}=\frac{R_{MAN}R_{MBN}}{R_{MAN}+R_{MBN}}, \ (2)
$$где $R_{MAN}$ и $R_{MBN}$ — сопротивления соответствующих участков, причём знаменатель этой формулы не зависит от того, в каких точках мы подключаемся к кольцу, и равен сопротивлению $R_{0}$ всей проволоки. Формулу $(2)$ можно представить в виде:
$$
R_{MN}=\frac{R_{MAN}(R_{0}-R_{MAN})}{R_{0}}.
$$

Сопротивление кольца между этими точками $R_{MN}$ как функция величины $R_{MAN}$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, и достигает максимума при
$R_{MAN} = \frac{R_{0}}{2}$. Следовательно, сопротивление кольца максимально при $R_{MAN} = R_{MBN} = \frac{R_{0}}{2}$ и $R_{\max} =\frac{R_{0}}{4} = \alpha \frac{\pi^{2}r}{4S}$.

Разделить всю проволоку кольца на два участка с равными сопротивлениями можно бесконечным количеством способов. Например, присоединив контакты к точкам $A$ и $B$ мы получим тот же самый результат для $R_{\max}$. Но, по условию, расстояние между точками $M$ и $N$ должно быть минимальным. Для этого на малую дугу между точками $M$ и $N$ должна приходиться проволока с максимально возможным удельным сопротивлением. Это означает, что точки $M$ и $N$ должны располагаться симметрично относительно точки $B$.
И сопротивление малых дуг $MB$ и $BN$ должно быть равно $\frac{R_{0}}{4}$. Пусть положение точек $M$ и $N$ определяется углом $\varphi_{0}$ (см. рисунок ниже).

Тогда среднее удельное сопротивление участка $BN$ по малой дуге равно $\rho_{0}=\dfrac{\alpha(\pi+\varphi_{0})}{2}$, а его сопротивление
$$
\frac{R_{0}}{4}=\frac{\rho_{0}(\pi-\varphi_{0})r}{S}=\frac{\alpha(\pi^{2}-\varphi_{0}^{2})r}{2S}.
$$С учетом уравнения $(1)$ получим: $\frac{\alpha \pi^{2}r}{4S}=\frac{\alpha (\pi^{2}-\varphi_{0}^{2})r}{2S}$ или $\pi^{2}=2(\pi^{2}-\varphi_{0}^{2})$, откуда $\varphi_{0}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}=127^{\circ}$.
Расстояние $L$ между точками $M$ и $N$ найдём как основание равнобедренного треугольника $MON$.
$$
L=2r\sin(\pi-\varphi_{0})=2r\sin\left(\pi \left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) \approx 1.6r.
$$