Алиса — космонавт, она живет на космической станции. Космическая станция представляет собой гигантское колесо радиуса $R$, которое вращается вокруг своей оси, тем самым создавая для космонавтов искусственную гравитацию. Космонавты живут на внутренней стороне обода колеса. Силой гравитационного притяжения космической станции и кривизной пола можно пренебречь.

B1  ^0.50 С какой циклической частотой $\omega_{ss}$ должна вращаться станция, чтобы космонавты испытывали такое же ускорение свободного падения $g_E$, как на поверхности Земли?

Алиса поспорила со своим другом — космонавтом Бобом. Боб не верит в то, что они действительно живут на космической станции и утверждает, что они находятся на Земле. Алиса хочет с помощью физики доказать Бобу, что они живут на вращающейся космической станции. Для этого она прикрепила груз массы $m$ к пружине с жёсткостью $k$ и заставила её колебаться. Груз колеблется только в вертикальном направлении и не может перемещаться в горизонтальном направлении.

B2  ^0.20 Полагая, что ускорение свободного падения на Земле постоянно и равно $g_E$, чему будет равна циклическая частота колебаний $\omega_E$, измеренная человеком на Земле?

B3  ^0.60 Какую циклическую частоту $\omega$ измерит Алиса на космической станции?

Алиса считает, что ее опыт доказывает, что они находятся на вращающейся космической станции. Боб по-прежнему сомневается. Он утверждает, что если принять во внимание изменение силы притяжения по мере поднятия над поверхностью Земли, получится то же самое.

В дальнейших заданиях мы изучим вопрос, прав ли Боб.

B4  ^0.80 Получите выражение для ускорения свободного падения $g_E(h)$ для небольших высот $h$ над поверхностью Земли и вычислите циклическую частоту колебаний $\tilde{\omega}_E$ колеблющегося груза (достаточно использовать линейное приближение). Обозначьте радиус Земли за $R_E$. Вращением Земли можно пренебречь.

Разумеется, для данной космической станции Алиса обнаружила, что пружинный маятник колеблется с той частотой, которую предсказал Боб.

B5  ^0.30 Для какого радиуса космической станции $R$ частота колебаний $\omega$ совпадает с частотой колебаний $\tilde{\omega}_E$ на поверхности Земли? Выразите свой ответ через $R_E$.

Раздраженная упрямством Боба, Алиса решила провести эксперимент, чтобы доказать свою точку зрения. Для этого она залезла на башню высотой $H$ от пола и уронила груз. Этот эксперимент можно рассматривать во вращающейся системе координат, а также в инерциальной системе координат.

В равномерно вращающейся системе координат на космонавтов действует фиктивная сила $\vec{F}_C$, называемая силой Кориолиса. Сила $\vec{F}_C$, действующая на объект массой $m$, движущийся со скоростью $\vec{v}$ в системе координат, вращающейся с постоянной циклической частотой $\vec{\omega}_{ss}$ определяется выражением:
\begin{equation}
\vec{F}_C = 2 m \vec{v} \times \vec{\omega}_{ss}.
\end{equation}

Вы можете использовать это выражение в скалярном виде:
\begin{equation}
F_C = 2 m v \omega_{ss} \sin \phi,
\end{equation}
где $\phi$ — угол между скоростью и осью вращения. Сила перпендикулярна как скорости $v$, так и оси вращения. Знак силы определяется правилом правой руки, но в дальнейшем вы можете свободно выбрать его по своему усмотрению.

B6  ^1.10 Вычислите горизонтальную скорость $v_x$ и горизонтальное смещение $d_x$ (относительно пола башни в направлении, перпендикулярном башне) груза в момент времени, когда он ударится о пол. Можете считать, что высота $H$ башни мала, так что ускорение, измеренное космонавтами, постоянно во время падения. Также вы можете считать, что $d_x \ll H$.

Для получения хороших результатов Алиса решила провести этот опыт, используя гораздо более высокую башню, чем раньше. К её удивлению, масса упала на пол около основания башни, т.е. $d_x = 0$.

B7  ^1.30 Найдите минимальную высоту башни, для которой может произойти, что $d_x = 0$.

Алиса хочет предпринять последнюю попытку убедить Боба. Она хочет использовать свой пружинный маятник, чтобы показать влияние силы Кориолиса. Для этого она переделала установку: прикрепила пружину к кольцу, которое может свободно скользить по горизонтальному стержню вдоль оси $x$ без трения. Сама пружина колеблется в направлении $y$. Стержень параллелен полу и перпендикулярен оси вращения космической станции. Плоскость $xy$ таким образом перпендикулярна оси вращения, а ось $y$ направлена к центру вращения станции.

B8  ^1.70 Алиса потянула груз на расстояние $d$ вниз от положения равновесия $x = 0$, $y=0$, а затем отпустила (рис. 5).
Приведите алгебраические выражения для $x(t)$ и $y(t)$. Величину $\omega_{ss} d$ можно считать малой. Можно пренебречь силой Кориолиса для движения вдоль оси $y$.
Нарисуйте схематично траекторию ($x(t)$, $y(t)$), отметив все характерные особенности, в частности, амплитуду.

Алиса и Боб продолжают спорить.