1  ^1.00 Определите деформацию $u(r)$ сплошной сферы радиуса $R$ под влиянием собственного гравитационного поля. Модуль Юнга $E$, плотность $\rho$ и коэффициент Пуассона $\mu$ материала известны.

В задаче есть две различные компоненты напряжения: радиальная (сила давления действует в направлении радиус-вектора) и тангенциальная (в плоскости, перпендикулярной радиус-вектору). Уравнения для них записываются как:
\[\left\{\begin{array}lE\varepsilon_r=\sigma_r-2\mu\sigma_\tau\\E\varepsilon_\tau=\sigma_\tau-\mu\sigma_r-\mu\sigma_\tau\end{array}\right.\implies\sigma_\tau=\frac1{1-\mu}\left(E\varepsilon_\tau+\mu\sigma_r\right)\implies\\\implies E\varepsilon_r=\sigma_r-\frac{2\mu}{1-\mu}\left(E\varepsilon_\tau+\mu\sigma_r\right)=\frac{(1-2\mu)(1+\mu)}{1-\mu}\sigma_r-\frac{2\mu}{1-\mu}E\varepsilon_\tau.\]Нам осталось разобраться с $\sigma_r$ и $\varepsilon_{r,\tau}$. Для $\varepsilon_{r,\tau}$ <<очевидно, что>>:\[\varepsilon_r=\frac{\mathrm du}{\mathrm dr},\quad\varepsilon_\tau=\frac ur.\]С $\sigma_r$ всё сложнее. Рассмотрим, какие силы действуют на участок $[r,r+\mathrm dr]$, видимый под телесным углом $\mathrm d\alpha\times\mathrm d\beta$. Помимо объёмной силы тяжести $\left(\frac{4\pi\rho G}3r\cdot\rho\,r\mathrm d\alpha\,r\mathrm d\beta\,\mathrm dr\right)$, в условие механического равновесия надо включить силу, действующую на <<боковую поверхность>> этого участка $\left(-2\sigma_\tau r\mathrm dr\mathrm d\alpha\mathrm d\beta\right)$ и силы, действующие на <<крышку>> $(-\sigma_r(r+\mathrm dr)(r+\mathrm dr)^2\mathrm d\alpha\mathrm d\beta)$ и <<дно>> $(-\sigma_r(r)r^2\mathrm d\alpha\mathrm d\beta)$:\[-\frac{4\pi\rho^2G}3r^3+\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left[r^2\sigma_r\right]=2r\sigma_\tau=\frac{2r}{1-\mu}\left(E\varepsilon_\tau+\mu\sigma_r\right).\]Глядя на полученные уравнения, хочется найти $u$ и $\sigma_r$ в виде каких-то не очень сложных многочленов. Учитывая, что $\sigma_r(R)=0$, $u(0)=0$, напрашивается поиск решения в виде $u(r)=-r(A-Br^2)$, $\sigma_r=-C(R^2-r^2)$. Отсюда получаем:\[\left\{\begin{array}{l}
E \frac{\mathrm d}{\mathrm d r}\left[r\left(A-B r^2\right)\right]=C \frac{(1-2 \mu)(1+\mu)}{1-\mu}\left(R^2-r^2\right)-\frac{2 \mu}{1-\mu} E\left(A-B r^2\right) \\
\frac{4 \pi g^2 G}{3} r^3+C \frac{\mathrm d}{\mathrm d r}\left[r^2\left(R^2-r^2\right)\right]=\frac{2 r}{1-\mu}\left[E\left(A-B r^2\right)+\mu C\left(R^2-r^2\right)\right]
\end{array}\right.\implies\\\implies\left\{\begin{array}{lc}A=&\frac{2\pi\rho^2R^2(1-2 \mu)(3-\mu)}{15E(1-\mu)}\\B=&\frac{2\pi\rho^2(1-2 \mu)(1+\mu)}{15E(1-\mu)}\\C=&\frac{2\pi\rho^2G(3-\mu)}{15(1-\mu)}\end{array}\right.\implies u(r)=-\frac{2\pi\rho^2R^2(1-2 \mu)(1+\mu)}{15E(1-\mu)} r\left[\frac{3-\mu}{1+\mu}-\frac{r^2}{R^2}\right]\]

2  ^1.00 Определите деформацию $u(r)$ цилиндра радиуса $R$, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью $\Omega$. Модуль Юнга $E$, плотность $\rho$ и коэффициент Пуассона $\mu$ материала известны.

3  ^1.30 Определите частоты $\omega_n$ поперечных собственных колебаний стержня длины $l$ с заделанными концами (для таких концов в точке закрепления $x_0$ имеет место $\zeta(x_0)=\zeta'(x_0)=0$). Запишите общее уравнение для нахождения этих частот, найдите численные множители для первых трёх из них. Модуль Юнга $E$ и плотность $\rho$ материала стержня, а также его радиус $r$ известны.

4  ^1.30 То же для стержня, заделанного на одном конце и свободного на другом (на свободном конце $x_0$ имеет место $\zeta''(x_0)=\zeta'''(x_0)=0$).

5  ^1.00 Определите собственные колебания $\zeta(x,y,t)$ прямоугольной пластинки (длины сторон $а$ и $b$) с опёртыми краями (для таких краёв в граничных точках $x_0$ имеет место $\zeta(x_0)=\zeta''(x_0)=0$). Найдите частоты колебаний $\omega_{n_x,n_y}$. Толщина пластинки $h$, а также модуль Юнга $E$ и плотность $\rho$ её материала известны.

6  ^1.50 Поверхность бесконечно глубокой несжимаемой жидкости плотностью $\rho$ покрыта тонкой упругой пластинкой. Определить связь между волновым вектором $k$ и частотой $\omega$ для волн, одновременно распространяющихся по пластинке и в поверхностном слое жидкости. Влиянием гравитации пренебрегите. Плотность жидкости $\rho_0$, толщина пластинки $h$, а также модуль Юнга $E$ и плотность $\rho$ её материала известны.

7  ^2.10 Определите критическую сжимающую силу $T$ для стержня с шарнирно закреплёнными концами. То же для стержня с заделанными концами. То же для стержня, один из концов которого заделан, а другой свободен. Модуль Юнга $E$ материала стержня, а также его радиус $r$ и длина $l$ известны.

8  ^0.80 Оцените по порядку модуль Юнга $E~[\text{Па}]$ древесины вдоль волокон, пронаблюдав упругую неустойчивость на примере линейки.