Pho.rs: Водяная ступа для шлифовки риса

A1 ^1.00 Определите расстояние от центра масс $G$ рычага до оси вращения $T$. Известно, что линия $GT$ горизонтальна, когда сосуд пуст.

1 Определена высота слоя воды	0.50
2 Определено расстояние между осью вращения и центром масс воды	0.30
3 Определено $GT$	0.20

A2 ^1.50 Вода начинает вытекать из сосуда, когда угол между рычагом и горизонтальной осью достигает некоторого значения $\alpha_1$. Вода полностью выливается из сосуда, когда значение этого угла становится равным $\alpha_2$.
Вычислите значения углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

1 Выражен или вычислен объем воды в ведре	0.05
2 Предположено, что $PQ<d$	0.10
3 Получено выражение для объема жидкости через $PQ$ и константы	0.30
4 Вычислено $PQ$	0.20
5 Указано, что предположение верно	0.05
6 Получено уравнение на $\alpha_1$	0.30
7 Вычислено $\alpha_1$	0.20
8 Указано, что когда угол наклона составляет $30^{\circ}$, ведро пусто	0.20
9 Получен ответ: \[\alpha_2=30^{\circ}\]	0.10

A3 ^1.50 Пусть $\mu(\alpha)$ — суммарный вращающий момент (относительно оси $T$), создаваемый весом рычага и воды в сосуде. При некотором угле $\alpha=\beta$ этот момент становится равным нулю $\mu(\alpha)=0$. Рассчитайте значения угла $\beta$ и массы $m_1$ воды в сосуде в этот момент.

1 Масса воды в ведре выражена через $PQ$	0.20
2 Записано уравнение моментов	0.20
3 Выражено расстояние от оси вращения воды до центра масс	0.20
4 Вычислено $PQ$	0.20
5 Получено уравнение на $\beta$	0.30
6 Вычислен угол $\beta$	0.20
7 Вычислена масса $m$	0.20

B1 ^2.00 Нарисуйте схематический график зависимости вращающего момента $\mu$ от угла $\alpha$, $\mu(\alpha)$, в течение рабочего цикла. Приведите явные значения и $\mu(\alpha)$ при углах $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha=0$.

1 Вычислен $\mu(0)$	0.20
2 Вычислен $\mu(\alpha_1)$	0.30
3 Вычислен $\mu(\alpha_2)$	0.20
График:
5 Характерный вид графика совпадает с авторским	0.70
6 Максимум соответствует $\alpha=\alpha_1$	0.15
7 При нулевом значении угла момент сил меняется от $\mu(0)$ до нулевого значения	0.15
8 На графике присутствует локальный минимум при $\alpha=\alpha_2$	0.15
9 Подписаны верные численные значения требуемых моментов сил	3 × 0.05

B2 ^0.50 Используя график, нарисованный в 2.1., дайте геометрическую интерпретацию значений общей работы $W_{total}$, произведенной моментом сил тяжести $\mu(\alpha)$; и работы $W_{pounding}$, совершенной дубинкой над рисом, за один цикл.

1 Верная интерпретация $W_{total}$	0.25
2 Верная интерпретация $W_{pounding}$	0.25

B3 ^1.50 С помощью графика, изображающего зависимость $\mu(\alpha)$, оцените максимальный угол отклонения $\alpha$ и $W_{pounding}$ (предполагая, что кинетическая энергия воды, текущей в сосуд и из него пренебрежимо мала.) Можете заменить кривые ломанными линиями, для облегчения расчетов.

1 Выражена $W_{pounding}$ через $\alpha_0$	0.20
2 Из закона сохранения энергии получено уравнение на площади	0.30
3 Получено уравнение на $\alpha_0$	0.30
4 Вычислен $\alpha_0$: \[\alpha_0\in [33, 37]^{\circ}\]	0.40
5 Вычислена $W_{pounding}$: \[W_{pounding}\in [2.5, 2.7]~Дж\]	0.30

C1 ^1.00 Нарисуйте примерный график зависимости вращающего момента $\mu$ от угла $\alpha$ в окрестности $\alpha = \beta$. К какому виду равновесия принадлежит положение рычага при $\alpha = \beta$ ?

1 Правильный характерный вид зависимости	0.50
2 Сделан вывод об устойчивости равновесия	0.50

C2 ^1.50 Выразите момент сил $\mu(\alpha)$ как функции $\Delta \alpha$, когда $\alpha = \beta + \Delta \alpha$, причем $\Delta \alpha$ мало.

1 Момент сил: \[\mu\approx\Delta m\cdot g\cdot TN\cos\beta\]	0.50
2 Связаны $\Delta m$ и $\Delta\alpha$	0.50
3 Получен ответ: \[\mu\approx -47\Delta\alpha~Н\cdot м\]	0.50

C3 ^1.50 Запишите дифференциальное уравнение движения рычага, который движется с нулевой начальной скоростью от начального положения $\alpha = \beta + \Delta \alpha~(\Delta \alpha~мало)$. Покажите, что это движение с хорошей точностью является гармоническими колебаниями. Рассчитайте их период $\tau$.

1 Использовано, что момент инерции практически постоянен	0.20
2 Вычислен момент инерции (засчитывается автоматически при засчитанном следующем пункте)	0.30
3 Записано уравнение колебаний в численном виде	0.50
4 Вычислен период колебаний	0.50

C4 ^2.00 При заданной скорости натекания $\Phi$, сосуд наполнен водой все время, только в том случае, когда рычаг движется достаточно медленно. Амплитуда гармонических колебаний зависит от $\Phi$. Определите значение $\Phi_1$ скорости натекания $\Phi~(в~кг/с)$ такое, чтобы рычаг мог совершать гармонические колебания с амплитудой $1^\circ$.

1 Записано уравнение движения	0.20
2 Из уравнения не следует, что начальная скорость нулевая	-0.10
3 Используется, что сосуд всегда переполнен	0.50
4 Записано условие переполненности сосуда в любой момент времени	0.50
5 Аналитическая связь $\Phi$ и $\Delta\alpha_0$	0.30
6 Вычислен массовый расход $\Phi_1$	0.50

C5 ^1.00 Если скорость $\Phi$ велика настолько, что при колебательном движении рычага, когда угол наклона изменяется от $\alpha_2$ до $\alpha_1$, то сосуд всегда остается наполненным водой. В этом случае устройство не может действовать в рабочем режиме. Допуская, что движение рычага является гармоническими колебаниями, оцените минимальную скорость течения $\Phi_2$, при которой устройство перестает функционировать в рабочем режиме.

1 Получено: \[\Phi_2\approx 3\Phi_1\]	0.30
2 Получен ответ: \[\Phi_2\approx 0.7~кг/с\]	0.70

Водяная ступа для шлифовки риса

Разбалловка