Pho.rs: Капельница Кельвина

Условие

Edu

I12

Вам могут пригодиться следующие сведения о поверхностном натяжении. Для молекул жидкости положение на границе с воздухом менее предпочтительно, чем в глубине. Поэтому граница обладает так называемой поверхностной энергией $U = \sigma S$, где $S$ — площадь поверхности жидкости, а $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения. Кроме того, два соседних фрагмента поверхности жидкости притягивают друг друга с силой $F = \sigma l$, где $l$ — длина прямой линии, разделяющей эти два фрагмента.
Длинная металлическая трубка с внутренним диаметром $d$ направлена вниз, а из отверстия на её конце медленно капает вода, см. рис. Воду можно считать проводящей. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен $\sigma$, а плотность — $\rho$.
На протяжении всей задачи полагайте, что $d \ll r$, где $r$ — радиус капли, висящей непосредственно под трубкой, медленно растущий во времени до момента, когда капля отрывается от трубки и начинает падать из-за силы тяжести (ускорение свободного падения — $g$).

Часть A. Одна трубка

1 ^1.20 Найдите радиус $r_{\max}$ капли непосредственно перед её отрывом от трубки.

2 ^1.20 Электростатический потенциал трубки относительно бесконечно удалённой точки равен $\varphi$. Найдите заряд $Q$ капли в момент, когда её радиус равен $r$.

3 ^1.60 В этом подпункте полагайте, что $r$ остаётся неизменным, пока $\varphi$ медленно повышают. Капля станет нестабильной и распадется на капельки поменьше, если гидростатическое давление внутри капли станет меньше, чем атмосферное.
Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится.
Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе.

Часть B. Две трубки

Аппарат под названием «капельница Кельвина» состоит из двух трубок (идентичных трубке из части $A$), соединённых T-образной трубкой, см. рис. Концы обеих трубок находятся в центре двух цилиндрических электродов (длиной $L$ и диаметром $D$, $L \gg D \gg r$); из обеих трубок капает $n$ капель в единицу времени. Капли падают с высоты $H$ в две проводящие чаши прямо под трубками, соединённые с электродами так, как показано на рисунке. Электроды соединены через конденсатор ёмкостью $C$. Суммарный заряд системы чаш и электродов равен нулю. Верхний контейнер с водой заземлён.

1 ^1.20 Выразите модуль заряда $Q_{0}$ капель, отделяющихся от трубок в момент, когда заряд конденсатора равен $q$, через $r_{\max}$ (описанный в части $A-1$). Эффектом, описанным в части $A-3$, пренебречь.

2 ^1.50 Найдите зависимость величины $q$ от времени $t$, представив её как непрерывную функцию от времени $q(t)$ и приняв $q(0) = q_{0}$.

3 ^1.30 Работе капельницы может помешать эффект, описанный в
части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$.