1A  ^2.00 На какой высоте $h$ над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте $h_{0}$.

Запишем для тела второй закон Ньютона в проекции на радиус
$$
m\frac{v^{2}}{R}=mg\cos\alpha-N, \ (1)
$$и закон сохранения энергии
$$
\frac{mv^{2}}{2}=mgx. \ (2)
$$Из системы уравнений $(1)$ и $(2)$ получаем при $N = 0$ условие отрыва:
$$
h = 2x,
$$где $h = R \cos\alpha$ — высота тела над центром сферы.

Таким образом, тело оторвётся, когда его высота над центром будет вдвое больше высоты, на которую он опустился от начального положения. Поэтому
$$
h=\frac{2}{3}h_{0}.
$$