Logo
Logo

1А-2008

1  2.00 Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра.

На шар действует сила давления со стороны стенки $\vec{F}_{1}$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе давления шара на стенку) и сила давления $\vec{F}_{A}$ со стороны жидкости (сила Архимеда). Центр шара движется по окружности радиуса $R/2$ с угловой скоростью $\omega$, поэтому на основании второго закона Ньютона для центра масс можно записать уравнение $$ m\omega^{2}\frac{R}{2}=F_{1}+F_{A}, \ (1.1) $$ где $m=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho$ — масса шара. Сила Архимеда может быть записана в виде (по аналогии с выводом закона Архимеда из условия равновесия жидкости) $$ F_{A}=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}. \ (1.2) $$ Из уравнения (1.1) с учетом формулы (1.2) получаем: $$ F_{1}=\frac{1}{6} \pi R^{3} \rho \frac{\omega^{2}R}{2}-\frac{1}{6}\pi R^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}). \ (1.3) $$ Заметим, что данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$. В противном случае шар не будет касаться стенки (уплывет к оси сосуда), поэтому при $\rho < \rho_{0}$ сила давления будет равна нулю.

Ответ: $$ F_{1}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}). $$ Данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$.