Logo
Logo

1В-2008

1  3.00 Определите установившуюся температуру тел.

Построим график зависимости теплоемкости тел от температуры.

Площадь под этим графиком численно равна количеству полученной или отданной теплоты. Так как теплоемкости тел одинаковы, условию теплового баланса соответствует равенство площадей трапеций под графиком от $t_{1}$ до установившейся температуры $t^{*}$ и от $t^{*}$ до $t_{2}$. Из этого условия следует равенство $$ (c(t_{1})+c(t^{*}))\cdot (t^{*} -t_{1})=(c(t_{2})+c(t^{*}))\cdot (t_{2}-t^{*}). \ (1.4) $$ Подстановка выражения для теплоемкости приводит к уравнению $$ (1+\alpha t_{1}+1+\alpha t^{*})(t^{*}-t_{1})=(1+\alpha t_{2}+1+\alpha t^{*})(t_{2}-t^{*}), \ (1.5) $$ положительный корень которого дает ответ на вопрос задачи: $$ t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{1+\alpha(t_{1}+t_{2})+\frac{\alpha^{2}}{2}(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})}-1 \right)=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). \ (1.6) $$

Примечания. 

1. Возможен интересный геометрический вариант решения данной задачи. Продлим график зависимости теплоемкости от температуры до пересечения с осью температур (точка $A$).

Обозначим площади треугольников от точки $A$ до соответствующих температур $S_{1}$, $S^{*}$, $S_{2}$. Так как эти треугольники подобны, то их площади пропорциональны квадратам высот, то есть $c^{2}(t)$. Условие равенства нужных площадей имеет вид $$ S_{2}-S^{*}=S^{*}-S_{1.} $$ Откуда следует $$ S^{*}=\frac{S_{1}+S_{2}}{2}, $$ или $$ (1+\alpha t^{*})^{2}=\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}. $$ Из этого уравнения конечная температура $t^{*}$ выражается элементарно.

2. Допустимо получить выражение для внутренней энергии тел (проинтегрировав теплоемкости) и затем записать закон ее сохранения.

Ответ: $$ t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). $$