1  ^2.00 Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$, соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см. рисунок).

Кинетическая энергия колебаний $$ E_{k}=n\frac{mv^{2}}{2}=n\frac{mx^{'2}}{2}=\frac{\alpha x^{'2}}{2}, \text{ где } \alpha=nm. $$ Потенциальная энергия колебаний $$ E_{p}=\frac{(k/n)(\Delta l)^{2}}{2}=\frac{(k/n)(2\pi x)^{2}}{2}=\frac{(4\pi^{2}k/n)\cdot x^{2}}{2}=\frac{\beta x^{2}}{2}, $$ где $\beta = 4\pi ^{2}k/n$. Циклическая частота $$ \omega^{2}=\beta/\alpha=4\pi^{2}k/n^{2}m. $$ Период колебаний $$ T=2\pi/\omega=n\sqrt{m/k}. $$