Минимальная работа равна изменению энергии электрического поля. Сравнив мысленно картины полей в начале и в конце опыта, можно заключить, что это изменение энергии есть разность $W_{2}-W_{1}$, где $W_{1}$ - энергия поля в слое диэлектрика с радиусами поверхностей $R_{2}$ и $R_{3}$ (поле создано зарядом $Q$, помещенным в центр этого слоя), $W_{2}$ - энергия поля в «пустом» объеме между сферами с радиусами $R_{1}$ и $R_{3}$ (поле создано зарядом $Q$, помещенным в общий центр этих сфер). Энергии $W_{1}$ и $W_{2}$ удобно искать как энергии соответствующих конденсаторов с емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$, имеющих на обкладках заряд $Q$.
Найдем $C_{2}$ и $W_{2}$. Напряжение на конденсаторе с радиусами обкладок $R_{1}$ и $R_{3}$
$$
U=\left(k \frac{Q}{R_{1}}-k \frac{Q}{R_{3}}\right)-0=k Q \frac{R_{3}-R_{1}}{R_{1} R_{3}}, \quad \text { где } \quad k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}
$$
Емкость конденсатора
$$
C_{2}=\frac{Q}{U}=\frac{R_{1} R_{3}}{k\left(R_{3}-R_{1}\right)},
$$
его энергия
$$
W_{2}=\frac{Q^{2}}{2 C_{2}}=\frac{k Q^{2}\left(R_{3}-R_{1}\right)}{2 R_{1} R_{3}}.
$$
Аналогично находим
$$
C_{1}=\frac{\varepsilon R_{2} R_{3}}{k\left(R_{3}-R_{2}\right)}, \quad W_{1}=\frac{k Q^{2}\left(R_{3}-R_{2}\right)}{2 \varepsilon R_{2} R_{3}}.
$$
Искомая работа
$$
A=W_{2}-W_{1}=\frac{k Q^{2}}{2 R_{3}}\left(\frac{R_{3}-R_{1}}{R_{1}}-\frac{R_{3}-R_{2}}{\varepsilon R_{2}}\right).
$$