За более чем полувековую историю освоения космоса, вокруг Земли скопилось огромное количество космического мусора, состоящего из нефункционирующих спутников, использованных верхних ступеней ракет и прочих объектов, не выполняющих никаких полезных функций. Для очистки орбит от космического мусора в настоящее время планируют специальные миссии. Предполагается, что специальные аппараты — космические буксиры — захватывают крупные объекты космического мусора и сводят их в плотные слои атмосферы или на специальные орбиты-захоронения. Однако перед тем, как отправлять буксир для захвата космического мусора, важно понимать вращательную динамику этих объектов на орбите. В данной задаче вам предстоит спланировать подобную миссию по очистке орбит от ненужных объектов, анализируя различные факторы влияющие на изменение параметров их движения.
В данной задаче в качестве крупного объекта космического мусора будет рассмотрена использованная верхняя ступень ракеты, схематично показанная на Рис. Круговой линией схематически показан сферический топливный бак ракеты.
Введем систему координат $C_{xy}$, связанную со ступенью ракеты, как показано на Рис., с началом в центре масс $C$. Ось $x$ совпадает с осью симметрии объекта, а ось $y$ перпендикулярна к оси $x$. Моменты инерции объекта относительно этих осей
Рассмотрим движение ступени с моментом импульса $L$, который составляет угол $\theta$ с осью симметрии (см. Рис). В данном пункте будем считать, что топливный бак пуст, и никакие внешние силы или моменты сил на ступень не действуют.
В последующих подпунктах задания А считайте, что ступень свободно вращается с начальным моментом импульса $L$ и начальным углом $\theta(0)=\theta_0$.
Рассмотрим систему отсчета $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$, ось $y_1$ которой сонаправлена с постоянным вектором момента импульса $\vec L$ (см. Рис выше). Система $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$ вращается вокруг оси $y_1$ так, что ось симметрии ступени ракеты все время остается в плоскости $C_{{x_1}{y_1}}$.
Большая часть топлива сжигается во время подъема ракеты, однако, после отсоединения от ступени полезной нагрузки в топливном баке остается неизрасходованное жидкое топливо. Масса $m$ остатков жидкого топлива мала по сравнению с массой $M$ ступени ракеты. Движение жидкого топлива в баке и соответствующие силы вязкого трения между топливом и стенками бака приводят к потерям энергии. В результате переходного процесса через некоторое время энергия достигает своего минимума.
Ещё один важный фактор для вращательной динамики рассматриваемых объектов — взаимодействие с магнитным полем Земли. Для начала решим вспомогательную задачу.
Рассмотрим тонкостенную немагнитную сферическую оболочку с толщиной стенок $D$ и радиусом $R$, помещенную в однородное магнитное поле $\vec B$. Поле $\vec B$ меняется медленно, а производная по времени $\dot{\vec B}$ ( $\vec B$ ”с точкой”) есть постоянный вектор, составляющий угол $\alpha$ с направлением вектора $\vec B$ (см. Рис). Удельное сопротивление материала сферической оболочки равно $\rho$.
Давайте выясним, как изменяется вращение ступени, движущейся по круговой полярной орбите с периодом обращения $T=100~мин$ (см. Рис ниже). Будем считать, что характерное время переходного процесса много меньше, чем характерные времена процессов изменения динамики ступени вследствие взаимодействия с геомагнитным полем. Рассмотрим, что происходит после завершения переходных процессов. Положим, что в начальный момент времени ступень вращается с угловой скоростью $\omega_2$ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты.
Считайте что ступень ракеты сделана в основном из дерева, за исключением топливного бака, выполненного из проводящего материала. Тогда взаимодействие ступени ракеты с геомагнитным полем может быть смоделировано как взаимодействие лишь со сферической оболочкой. Толщина стенок оболочки $D=2~мм$, радиус $R=4~м$ и удельное сопротивление $\rho=2.7\cdot10^{-8}~Ом\cdot м$.