Осуществление управляемого термоядерного синтеза является актуальной задачей современной физики. Самым перспективным вариантом осуществления управляемого термоядерного синтеза является ТОКАМАК, представляющий собой магнитную ловушку для удержания горячей плазмы.
Наиболее перспективной реакцией синтеза является реакция на изотопах водорода – дейтерия $(D)$ и трития $(T)$.
$$
D+T \rightarrow ~^{4}He+n. \ (1)
$$
Продуктами данной реакции являются ядро $^{4}He$ гелия и нейтрон $n$.

1  ^1.00 Считая, что массы частиц известны, определите, аналитически и численно, энергию $E_{0}$, высвобождаемую в одном акте синтеза $(1)$.

2  ^0.50 Энергию в ядерной физике удобно выражать в электрон-вольтах (эВ). $1~эВ$ — это энергия, приобретаемая электроном при прохождении разности потенциалов в один вольт. Выразите, аналитически и численно, энергию, подсчитанную в пункте $1$ в эВ.

3  ^1.00 Пренебрегая энергией ядер дейтерия и трития до реакции, определите, аналитически и численно, энергии, уносимые ядром гелия $E_{He}$ и нейтроном $E_{n}$.

4  ^1.00 В Токамаке дейтерий-тритиева смесь нагревается до высокой температуры, при которой все атомы являются полностью ионизованными, а их средняя кинетическая энергия равна $(3/2)k_{B}T$. Для осуществления реакции $(1)$ необходимо преодолеть кулоновское отталкивание ядер дейтерия и трития и сблизить их до расстояния $a=10^{-14}~м$. Определите: температуру $T$, при которой реакция $(1)$ становится возможной для большинства сталкивающихся пар.

При тепловом движении энергия всех частиц не строго одинакова и в смеси может быть частицы с энергией как больше, так и меньше $(3/2)k_{B}T$. Поэтому за счет энергичных частиц реакции синтеза могут происходить и при более низкой температуре. Число реакций, протекающих в единицу времени в единице объема выражается формулой $n_{D}n_{T}\sigma(v)v$, где $n_{D}$ и $n_{T}$ — концентрации дейтерия и трития, а $\sigma(v)$ так называемое поперечное сечение реакции, зависящее от относительной скорости $v$ участвующих в реакции частиц.

5  ^3.00 Определите, аналитически и численно, среднее значение $<\sigma(v)v>$ при оптимальной температуре $T_{0}=10^{8}~К$, считая что распределение частиц по скоростям Максвелловское с приведенной массой частиц $\mu=m_{D}m_{T}/(m_{D}+m_{T})$. Зависимость $\sigma(v)$ представлена на рисунке ниже.

6  ^3.00 Нагретое до столь высокой температуры вещество находится в состоянии плазмы, в которой все атомы являются полностью ионизованными. Для нагрева вещества до оптимальной температуры $T_{0}=10^{8}~К$ необходимо затратить определенную энергию, которая должна быть меньше энергии, выделяемой в термоядерных реакциях. Энергия ядра гелия может быть использована полностью, тогда как доля полезной энергии нейтрона $\eta=0.3$.
Мощность термических потерь определяется выражением $P_{loss}=E/\tu$, где $E$ — плотность кинетической энергии плазмы, а $\tau$ — время удержания плазмы. Считая, что концентрации $n_{D}=n_{T}=n/2$ получите, аналитически и численно, неравенство, гарантирующее положительный выход энергии и связывающее концентрацию плазмы $n$ и время удержания $\tau$.

7  ^2.50 Плазма с температурой $T_{0}=10^{8}~К$ имеет высокое давление и простая стенка для ее удержания не годится. Для этого используется магнитное поле, создаваемое сверхпроводящими электромагнитами Токамака и компенсирующее термическое давление плазмы. В присутствии магнитного поля дополнительное давление равно $P=\gamma\mu_{0}^{\alpha}B^{\beta}$, где $\gamma=1/2$, $\mu_{0}$ — магнитная постоянная, а $B$ — магнитная индукция.
Внутри плазмы магнитное поле полностью экранируется, так что дополнительное давление отсутствует. Используя размерный анализ найдите $\alpha$ и $\beta$, а также вычислите индукцию магнитного поля, необходимую для удержания плазмы с $n_{D}=n_{T}=10^{-21}~м^{-3}$.

Численные данные:

Масса дейтерия $\quad m_{D}=3.34447\cdot 10^{-27}~кг$.

Масса трития $\quad m_{T}=5.00732\cdot 10^{-27}~кг$.

Масса гелия $\quad m_{He}=6.64432\cdot 10^{-27}~кг$.

Масса нейтрона $\quad m_{n}=1.67439\cdot 10^{-27}~кг$.

Скорость света $\quad c=2.9979\cdot 10^{8}~м/с$.                                  

Элементарный заряд $\quad e=1.6022\cdot 10^{-19}~Кл$.

Постоянная Больцмана $k_{B}=1.3806\cdot 10^{-23}~Дж/К$.

Электрическая постоянная $\varepsilon_{0}=8.854\cdot 10^{-12}~Ф/м$.       

Магнитная постоянная $\mu_{0}=1.257\cdot 10^{-6}~Гн/м$.

Примечание

Максвелловское распределение скоростей частиц с массой $\mu$ при температуре $T$ имеет вид 

$$f(v)=4\pi \left(\frac{\mu}{2\pi k_{B}T} \right)^{3/2} v^{2} \exp\left(-\frac{\mu v^{2}}{2k_{B}T} \right).$$