Часть A. Давление насыщенного пара и теплота парообразования

Испарение воды происходит, когда молекулы воды вылетают из жидкости через границу раздела вода–воздух, как показано на рис. 1. Поскольку молекулы воды взаимодействуют друг с другом посредством водородных связей, в воздух могут вылететь только молекулы с большой кинетической энергией. Таким образом, для испарения требуется дополнительная энергия, которую и называют теплотой парообразования.

Молекулы воды также могут попадать из воздуха обратно в воду. Давление водяного пара, при котором этот процесс уравновешивает испарение, называется давлением насыщенного пара.

В этой части задачи мы рассмотрим, как связаны между собой давление насыщенного пара и теплота парообразования.

Значения физических констант, необходимые для решения задачи, представлены в таблице ниже.

Рассмотрим двухфазную систему жидкость–пар, состоящую из $1~моля$ воды, находящейся под поршнем, как показано на рисунке 2. Пусть она используется в качестве рабочего тела в цикле Карно, проводимому по следующей схеме:

• $1\to2$ – двухфазная система изотермически расширяется от объёма $V_1$ до объёма $V_2$ при температуре $T$. Давление при этом постоянно и равно давлению насыщенного пара $P$ при этой температуре, а система получает теплоту $Q_1$. Часть воды при этом испаряется.
• $2\to3$ – двухфазная система адиабатически охлаждается. Её температура при этом уменьшается до $T-\Delta T$, давление – до $P-\Delta P$.
• $3\to4$ – двухфазная система изотермически расширяется при температуре $T$. Давление при этом постоянно и равно давлению насыщенного пара $P-\Delta P$ при этой температуре, а система отдаёт теплоту $Q_2$. Часть пара при этом конденсируется.
• $4\to1$ – наконец, система адиабатически сжимается до исходного объема $V_1$. Её температура увеличивается до $T$, давление – до $P$.

Пусть $V_\text{liq}$ – молярный объём жидкой, а $V_\text{gas}$ – газообразной фазы воды при температуре $T$. Давление насыщенного пара при этом равно $P$, молярная теплота парообразования – $L$.

A1 Выразите через эти величины теплоту $Q_1$, полученную системой в процессе $1\to2$.

A2 Выразите через эти величины работу $W$, совершённую в цикле.

A3 В пределе $\Delta T\ll T$ выразите через эти величины отношение $\cfrac{\Delta P}{\Delta T}$, используя свойства цикла Карно.

Полученное вами соотношение называется уравнением Клапейрона–Клаузиуса.

В реальности объёмом жидкой фазы $V_\text{liq}$ можно пренебречь, а объём водяного пара $V_\text{gas}$ можно считать равным таковому для идеального газа.

A4 Упростив уравнение Клапейрона–Клаузиуса, запишите дифференциальное уравнение на $\cfrac{\mathrm dP}{\mathrm dT}$ в описанном приближении.

A5 Проинтегрировав это уравнение, выразите давление насыщенного пара $P$ при температуре $T$ через давление $P_0$ при известной температуре $T_0$, а также $L$ и $R$.

Известно, что давления насыщенного водяного пара при температурах $0{}~^\circ\mathrm C$ и $25{}~^\circ\mathrm C$ равны соответственно $0.611\cdot10^3~Па$ и $3.17\cdot10^3~Па$.

A6 Вычислите теплоту парообразования воды $L$ и давление насыщенного пара $P(27{}~^\circ\mathrm C)$ при температуре $27{}~^\circ\mathrm C$.

Реальное значение теплоты парообразования воды $L=4.40\cdot10^4~Дж/моль$ при температуре $25{}~^\circ\mathrm C$, и можно считать, что оно не зависит от температуры.

Теплота парообразования $L$ складывается из работы, которую необходимо совершить для увеличения объёма, и энергии, необходимой для выхода молекул из толщи жидкости.

A7 Найдите энергию $U_\mathrm v$, необходимую для выхода одной молекулы воды из жидкой фазы при температуре $25{}~^\circ\mathrm C$. Во сколько раз эта энергия $U_\mathrm v$ превышает среднюю кинетическую энергию $K(25{}~^\circ\mathrm C)$ поступательного движения молекул воды? Всё также можно считать, что для молярных объёмов справедливо $V_\text{liq}\ll V_\text{gas}$.

Часть B. Осадки и вода в атмосфере

В этой части задачи мы исследуем влияние глобального потепления на атмосферные осадки. Для этого давайте сначала оценим массу водяного пара, приходящуюся на единицу площади поверхности земли, при повышении температуры воды в южной части Тихого океана на $2{}~^\circ\mathrm C$ – с $25{}~^\circ\mathrm C$ до $27{}~^\circ\mathrm C$.

Обозначим как $T(x)$ температуру воздуха, как $P_\mathrm a(x)$ – атмосферное давление и как $P(x)$ – давление водяного пара на высоте $x$. Изменение температуры с высотой в тропосфере ($x\le10^4~м$) можно с хорошей точностью описать как $T(x)=T(0)f(x)$, где\[f(x)=1-\frac\alpha{T(0)}x,\quad\alpha=6.0\cdot10^{-3}~К/м,\]а $T(0)$ – температура на уровне моря.

Пусть $P_\mathrm s(x)$ – давление насыщенного пара на высоте $x$. В приближении $x\ll T(0)/\alpha$ можно записать:\[P_\mathrm s(x)\approx P_\mathrm s(0)e^{-Ax}.\]

B1 Найдите $A$. Подставив числовые значения, приведите ответ в виде функции от $T(0)$.

Исследуем теперь зависимость атмосферного давления $P_\mathrm a$ от высоты $x$. Пусть $\rho(x)$ – плотность атмосферы на высоте $x$.

B2 Запишите уравнение механического равновесия атмосферы.

B3 Выразите $P_\mathrm a(x)$ через атмосферное давление $P_\mathrm a(0)$ на уровне моря, а также $M_\mathrm a$, $k_\mathrm B$, $g$ и $T(0)$ и некоторый интеграл, включающий в себя функцию $f(x)$.

Если в первом приближении считать функцию $f(x)\approx1$, то полученное в предыдущем пункте равенство можно переписать в виде:\[P_\mathrm a(x)=P_\mathrm a(0)e^{-Bx}.\]

B4 Найдите $B$. Подставив числовые значения, приведите ответ в виде функции от $T(0)$.

Используя эти результаты, несложно найти высоту $x_\mathrm s$, на которой водяной пар становится насыщенным. Можно считать, что парциальное давление водяного пара уменьшается прямо пропорционально атмосферному давлению. Пусть влажность воздуха на уровне моря равна $q\equiv\cfrac{P(0)}{P_\mathrm s(0)}~(0\le q\le1)$.

B5 Найдите высоту $x_\mathrm s$, на которой водяной пар становится насыщенным. Вычислите $x_\mathrm s$, если на уровне моря температура равна $25~{}^\circ\mathrm C$, а влажность $q=0.6$.

Поскольку на высотах больше $x_\mathrm s$ может начаться конденсация водяного пара, $x_\mathrm s$ также называют высотой нижней границы облаков.

Однако, в дальнейшем для простоты положим $q=1$. Найдём массу $F~\left[кг/м^2\right]$ водяного пара в атмосфере, приходящуюся на единицу площади поверхности земли. 

B6 Найдите $F$ в приближении $T(x)\approx T(0)$.

B7 Найдите $F(25~{}^\circ\mathrm C)$ и $F(27~{}^\circ\mathrm C)$ при температуре океана $25~{}^\circ\mathrm C$ и $27~{}^\circ\mathrm C$ соответственно. Используйте значения давления насыщенного пара из пункта A6.

Если вы всё сделали правильно, то получили, что увеличение температуры океана должно приводить к увеличению массы водяного пара, способного выпасть в виде осадков.