На соревнованиях по художественной гимнастике часто можно увидеть, как обруч, скользящий по горизонтальному полу, останавливается и возвращается обратно к спортсмену (см. рис. 1). В этой задаче мы исследуем подобное движение обруча. Считайте, что обруч всё время лежит в вертикальной плоскости.
Рис. 1
Масса обруча равна $M$, его радиус – $R$, а коэффициент трения между обручем и полом – $\mu$. В начальный момент времени обруч движется вправо со скоростью $v_0$, вращаясь при этом против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega_0$. Ускорение свободного падения равно $g$, силой трения качения в дальнейшем можно пренебречь.
Исследуем, как зависят от времени $t$ скорость $v$ центра масс обруча и его угловая скорость $\omega$. Положительные направления для этих величин указаны на рис. 2.
Рис. 2
A1
Запишите уравнение, описывающее изменение скорости $v$ движения центра масс обруча.
A2
Запишите уравнение, описывающее изменение угловой скорости $\omega$ вращения обруча.
A3
Найдите выражения для $v(t)$ и $\omega(t)$ до того, как обруч начнёт катиться без проскальзывания.
A4
Выразите через $\omega$ и $v$ скорость $u$ точки обруча $P$, касающейся пола в данный момент.
Пусть скорость центра масс обруча обнуляется до того, как он перестаёт проскальзывать относительно пола.
A5
Найдите время $t_1$, за которое обнулится скорость центра масс обруча, и расстояние $l$, на которое он переместится за это время.
A6
Найдите время $t_2$, через которое обруч прекратит проскальзывать относительно пола, и скорость его центра масс $v_2$ в этот момент. Как должны быть связаны $v_0$ и $\omega_0$, чтобы обруч в итоге покатился обратно?
A7
Вычислите $v_0$ и $\omega_0$, если $t_1=1.0~с$, $t_2=1.5~с$, $R=0.40~м$, $M=0.30~кг$, $g=9.8~м/с^2$ и $\mu=1/4.9$.
